Математический анализ Примеры

$\frac{2 x}{e^{2 x}}$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{e^{2 x}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{2 x}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{2 x}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{2 x}$ .

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(e^{2 x})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{2 x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{2 x \cdot 2}}$

Этап 3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{e^{2 x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Этап 3.3

Умножим $e^{2 x}$ на $1$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{4 x}}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{4 x}}$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x (e^{2 x} \cdot 1)}{e^{4 x}}$

Этап 5.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $e^{2 x}$ на $1$ .

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$

Этап 5.4.2

Объединим $2$ и $\frac{e^{2 x} - 2 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 2 x e^{2 x})}{e^{4 x}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 e^{2 x} + 2 (- 2 x e^{2 x})}{e^{4 x}}$

Этап 6.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{2 e^{2 x} - 4 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$

Этап 6.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- 4 e^{2 x} x + 2 e^{2 x}}{e^{4 x}}$

Этап 6.4

Вынесем множитель $2 e^{2 x}$ из $- 4 e^{2 x} x + 2 e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $2 e^{2 x}$ из $- 4 e^{2 x} x$ .

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x}}{e^{4 x}}$

Этап 6.4.2

Вынесем множитель $2 e^{2 x}$ из $2 e^{2 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x} (1)}{e^{4 x}}$

Этап 6.4.3

Вынесем множитель $2 e^{2 x}$ из $2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x} (1)$ .

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x + 1)}{e^{4 x}}$

Этап 6.5

Сократим общий множитель $e^{2 x}$ и $e^{4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель $e^{4 x}$ из $2 e^{2 x} (- 2 x + 1)$ .

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x}}$

Этап 6.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x} \cdot 1}$

Этап 6.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x} \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)}{1}$

Этап 6.5.2.4

Разделим $2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)$ на $1$ .

$2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)$

Этап 6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$2 e^{- 2 x} (- 2 x) + 2 e^{- 2 x} \cdot 1$

Этап 6.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x} \cdot 1$

Этап 6.8

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$

Этап 6.9

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 4 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$

Этап 6.10

Изменим порядок множителей в $- 4 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$ .

$- 4 x e^{- 2 x} + 2 e^{- 2 x}$