Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{50} (5 i - 2) (i + 3)$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Развернем $(5 i - 2) (i + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 i (i + 3) - 2 (i + 3)$

Этап 1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 i \cdot i + 5 i \cdot 3 - 2 (i + 3)$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 i \cdot i + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

Этап 1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Умножим $i$ на $i$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Перенесем $i$ .

$5 (i \cdot i) + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

Этап 1.2.1.1.2

Умножим $i$ на $i$ .

$5 i^{2} + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

Этап 1.2.1.2

Умножим $3$ на $5$ .

$5 i^{2} + 15 i - 2 i - 2 \cdot 3$

Этап 1.2.1.3

Умножим $- 2$ на $3$ .

$5 i^{2} + 15 i - 2 i - 6$

Этап 1.2.2

Вычтем $2 i$ из $15 i$ .

$5 i^{2} + 13 i - 6$

Этап 1.3

Переделаем суммирование.

$\sum_{i = 1}^{50} 5 i^{2} + 13 i - 6$

Этап 2

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{i = 1}^{50} 5 i^{2} + 13 i - 6 = 5 \sum_{i = 1}^{50} i^{2} + 13 \sum_{i = 1}^{50} i + \sum_{i = 1}^{50} - 6$

Этап 3

Найдем значение $5 \sum_{i = 1}^{50} i^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 3.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(5) (\frac{50 (50 + 1) (2 \cdot 50 + 1)}{6})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Добавим $50$ и $1$ .

$5 \frac{50 \cdot 51 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Этап 3.3.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Умножим $50$ на $51$ .

$5 \frac{2550 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $2$ на $50$ .

$5 \frac{2550 (100 + 1)}{6}$

Этап 3.3.1.3

Добавим $100$ и $1$ .

$5 \frac{2550 \cdot 101}{6}$

Этап 3.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $2550$ на $101$ .

$5 (\frac{257550}{6})$

Этап 3.3.2.2

Разделим $257550$ на $6$ .

$5 \cdot 42925$

Этап 3.3.2.3

Умножим $5$ на $42925$ .

$214625$

Этап 4

Найдем значение $13 \sum_{i = 1}^{50} i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 4.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(13) (\frac{50 (50 + 1)}{2})$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $50$ и $1$ .

$13 \frac{50 \cdot 51}{2}$

Этап 4.3.2

Умножим $50$ на $51$ .

$13 (\frac{2550}{2})$

Этап 4.3.3

Разделим $2550$ на $2$ .

$13 \cdot 1275$

Этап 4.3.4

Умножим $13$ на $1275$ .

$16575$

Этап 5

Найдем значение $\sum_{i = 1}^{50} - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 5.2

Подставим значения в формулу.

$(- 6) (50)$

Этап 5.3

Умножим $- 6$ на $50$ .

$- 300$

Этап 6

Сложим результаты суммирования.

$214625 + 16575 - 300$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $214625$ и $16575$ .

$231200 - 300$

Этап 7.2

Вычтем $300$ из $231200$ .

$230900$