Математический анализ Примеры

$\int_{e}^{e^{2}} \ln (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = 1$ .

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - \int_{e}^{e^{2}} x \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - \int_{e}^{e^{2}} \frac{x}{x} d x$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - \int_{e}^{e^{2}} \frac{x}{x} d x$

Этап 2.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - \int_{e}^{e^{2}} d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - (x]_{e}^{e^{2}})$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $\ln (x) x$ в $e^{2}$ и в $e$ .

$(\ln (e^{2}) e^{2}) - \ln (e) e - (x]_{e}^{e^{2}})$

Этап 4.2

Найдем значение $x$ в $e^{2}$ и в $e$ .

$(\ln (e^{2}) e^{2}) - \ln (e) e - ((e^{2}) - e)$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $2$ из степени.

$2 \ln (e) e^{2} - \ln (e) e - ((e^{2}) - e)$

Этап 4.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$2 \cdot 1 e^{2} - \ln (e) e - ((e^{2}) - e)$

Этап 4.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 e^{2} - \ln (e) e - (e^{2} - e)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$2 e^{2} - 1 \cdot 1 e - (e^{2} - e)$

Этап 5.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 e^{2} - e - (e^{2} - e)$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 e^{2} - e - e^{2} - - e$

Этап 5.1.4

Умножим $- - e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 e^{2} - e - e^{2} + 1 e$

Этап 5.1.4.2

Умножим $e$ на $1$ .

$2 e^{2} - e - e^{2} + e$

Этап 5.2

Вычтем $e^{2}$ из $2 e^{2}$ .

$e^{2} - e + e$

Этап 5.3

Добавим $- e$ и $e$ .

$e^{2} + 0$

Этап 5.4

Добавим $e^{2}$ и $0$ .

$e^{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e^{2}$

Десятичная форма:

$7.38905609 \dots$