Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} (1 + 4 x + 9 x^{2} + 16 x^{3}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{1} 1 + 4 x + 9 x^{2} + 16 x^{3} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} 4 x d x + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 4 x d x + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Этап 4

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$x]_{0}^{1} + 4 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Этап 7

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Этап 10

Поскольку $16$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $16$ из-под знака интеграла.

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 \int_{0}^{1} x^{3} d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1})$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Этап 12.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Найдем значение $x$ в $1$ и в $0$ .

$(1) + 0 + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Этап 12.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $0$ .

$1 + 0 + 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Этап 12.2.3

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$1 + 0 + 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Этап 12.2.4

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $1$ и в $0$ .

$1 + 0 + 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$1 + 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.4

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.4.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.4.2.2

Сократим общий множитель.

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.4.2.3

Перепишем это выражение.

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} - 0) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} + 0) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.6

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.7

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{4}{2} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.8

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.8.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.8.2.2

Сократим общий множитель.

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.8.2.3

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{2}{1} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.8.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$1 + 2 + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.9

Добавим $1$ и $2$ .

$3 + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.10

Единица в любой степени равна единице.

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.12

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.12.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.12.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.12.2.2

Сократим общий множитель.

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.12.2.3

Перепишем это выражение.

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.12.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$3 + 9 (\frac{1}{3} - 0) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.13

Умножим $- 1$ на $0$ .

$3 + 9 (\frac{1}{3} + 0) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.14

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$3 + 9 (\frac{1}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.15

Объединим $9$ и $\frac{1}{3}$ .

$3 + \frac{9}{3} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.16

Сократим общий множитель $9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.16.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$3 + \frac{3 \cdot 3}{3} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.16.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$3 + \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.16.2.2

Сократим общий множитель.

$3 + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.16.2.3

Перепишем это выражение.

$3 + \frac{3}{1} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.16.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$3 + 3 + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.17

Добавим $3$ и $3$ .

$6 + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.18

Единица в любой степени равна единице.

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 12.2.5.19

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{0}{4})$

Этап 12.2.5.20

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.20.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Этап 12.2.5.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.20.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Этап 12.2.5.20.2.2

Сократим общий множитель.

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Этап 12.2.5.20.2.3

Перепишем это выражение.

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{0}{1})$

Этап 12.2.5.20.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$6 + 16 (\frac{1}{4} - 0)$

Этап 12.2.5.21

Умножим $- 1$ на $0$ .

$6 + 16 (\frac{1}{4} + 0)$

Этап 12.2.5.22

Добавим $\frac{1}{4}$ и $0$ .

$6 + 16 (\frac{1}{4})$

Этап 12.2.5.23

Объединим $16$ и $\frac{1}{4}$ .

$6 + \frac{16}{4}$

Этап 12.2.5.24

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.24.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$6 + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Этап 12.2.5.24.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.24.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$6 + \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Этап 12.2.5.24.2.2

Сократим общий множитель.

$6 + \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 12.2.5.24.2.3

Перепишем это выражение.

$6 + \frac{4}{1}$

Этап 12.2.5.24.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$6 + 4$

Этап 12.2.5.25

Добавим $6$ и $4$ .

$10$

Этап 13