Математический анализ Примеры

$y = \arccos (3 x - 5)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arccos (x)$ и $g (x) = 3 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Этап 1.2

Производная $\arccos (u)$ по $u$ равна $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x - 5$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 x - 5)}^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 x - 5)}^{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 x - 5)}^{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 x - 5)}^{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 2.4

Умножим $3$ на $1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 x - 5)}^{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 2.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 x - 5)}^{2}}} (3 + 0)$

Этап 2.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 x - 5)}^{2}}} \cdot 3$

Этап 2.6.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 x - 5)}^{2}}}$

Этап 2.6.3

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{\sqrt{1 - {(3 x - 5)}^{2}}}$ .

$\frac{- 3}{\sqrt{1 - {(3 x - 5)}^{2}}}$

Этап 2.6.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{\sqrt{1 - {(3 x - 5)}^{2}}}$