Математический анализ Примеры

$f (x) = - \frac{1}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int - \frac{1}{{(6 x + 1)}^{2}} d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{{(6 x + 1)}^{2}} d x$

Этап 4

Пусть $u = 6 x + 1$ . Тогда $d u = 6 d x$ , следовательно $\frac{1}{6} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 6 x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $6 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 1]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $6 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $6$ и $0$ .

$6$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{6} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1}{u^{2}}$ на $\frac{1}{6}$ .

$- \int \frac{1}{u^{2} \cdot 6} d u$

Этап 5.2

Перенесем $6$ влево от $u^{2}$ .

$- \int \frac{1}{6 u^{2}} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Этап 7

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{1}{6} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 7.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{6} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 7.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{6} \int u^{- 2} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{6} (- u^{- 1} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $- \frac{1}{6} (- u^{- 1} + C)$ в виде $- \frac{1}{6} (- \frac{1}{u}) + C$ .

$- \frac{1}{6} (- \frac{1}{u}) + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{6}) \frac{1}{u} + C$

Этап 9.2.2

Умножим $\frac{1}{6}$ на $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{u} + C$

Этап 9.2.3

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{6 u} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $6 x + 1$ .

$\frac{1}{6 (6 x + 1)} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = - \frac{1}{{(6 x + 1)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{6 (6 x + 1)} + C$