Математический анализ Примеры

$\int \frac{2 x^{2} - 3}{\sqrt{x}} d x$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 x^{2} - 3}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (2 x^{2} - 3) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x^{2} - 3) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int (2 x^{2} - 3) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int (2 x^{2} - 3) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4

Развернем $(2 x^{2} - 3) x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 2 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 2 x^{2 - \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int 2 x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\int 2 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int 2 x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\int 2 x^{\frac{4 - 1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.6.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$\int 2 x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 8

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - 3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$2 (\frac{2}{5}) x^{\frac{5}{2}} - 3 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $2$ и $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 3 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} - 3 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2.3

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{\frac{1}{2}} + C$