Математический анализ Примеры

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}}$

Этап 1

Запишем $\frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Этап 4

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x^{2} - 1)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int {(x^{2} - 1)}^{2} x^{- 2} d x$

$\int {(x^{2} - 1)}^{2} x^{- 2} d x$

Этап 6

Развернем ${(x^{2} - 1)}^{2} x^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем ${(x^{2} - 1)}^{2}$ в виде $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ .

$\int (x^{2} - 1) (x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) x^{- 2} d x$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) x^{- 2} d x$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x^{- 2} d x$

Этап 6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1) x^{- 2} + (- 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x^{- 2} d x$

Этап 6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot - 1 x^{- 2} + (- 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x^{- 2} d x$

Этап 6.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot - 1 x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.8

Изменим порядок $x^{2}$ и $- 1$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{2 + 2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.10

Добавим $2$ и $2$ .

$\int x^{4} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{4 - 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.12

Вычтем $2$ из $4$ .

$\int x^{2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.13

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int x^{2} - (x^{2} x^{- 2}) - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{2} - x^{2 - 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.15

Вычтем $2$ из $2$ .

$\int x^{2} - x^{0} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.16

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\int x^{2} - 1 \cdot 1 - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.17

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\int x^{2} - 1 - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.18

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int x^{2} - 1 - (x^{2} x^{- 2}) - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.19

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{2} - 1 - x^{2 - 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.20

Вычтем $2$ из $2$ .

$\int x^{2} - 1 - x^{0} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.21

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\int x^{2} - 1 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.22

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\int x^{2} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.23

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int x^{2} - 1 - 1 + 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.24

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$\int x^{2} - 1 - 1 + x^{- 2} d x$

Этап 6.25

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$\int x^{2} - 2 + x^{- 2} d x$

Этап 6.26

Изменим порядок $- 2$ и $x^{- 2}$ .

$\int x^{2} + x^{- 2} - 2 d x$

$\int x^{2} + x^{- 2} - 2 d x$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{2} d x + \int x^{- 2} d x + \int - 2 d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int x^{- 2} d x + \int - 2 d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C + \int - 2 d x$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C - 2 x + C$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{x} - 2 x + C$

Этап 11.2

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} - 2 x + C$

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} - 2 x + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} - 2 x + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$