Математический анализ Примеры

$\frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}$

Этап 1

Запишем $\frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x + x^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Этап 5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{x + x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 6

Вынесем $x^{\frac{1}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (x + x^{\frac{1}{2}} + 1) {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Этап 7

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x + x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Этап 7.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$\int (x + x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Этап 7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int (x + x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (x + x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x \cdot x^{- \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 8.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x^{- \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{1 - \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 8.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int x^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 8.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int x^{\frac{3 - 1}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 8.7

Вычтем $1$ из $3$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 8.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 8.9

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 8.10

Чтобы записать $- \frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 8.11

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 8.11.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 8.11.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 8.11.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{6} - \frac{2}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 8.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3 - 2}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 8.13

Вычтем $2$ из $3$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 8.14

Умножим $x^{- \frac{1}{3}}$ на $1$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{6}} + x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 9

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int x^{\frac{1}{6}} d x + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int x^{\frac{1}{6}} d x + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{6}}$ по $x$ имеет вид $\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 12

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 13

Упростим.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$