Математический анализ Примеры

$x y + y^{2} = 1$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (x y + y^{2}) = \frac{d}{d y} (1)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x y + y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = x$ и $g (y) = y$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$x \cdot 1 + y x' + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.2.4

Умножим $x$ на $1$ .

$x + y x' + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x + y x' + 2 y$

Этап 2.3.2

Изменим порядок членов.

$y x' + x + 2 y$

Этап 3

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y x' + x + 2 y = 0$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $x'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$y x' + 2 y = - x$

Этап 5.1.2

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$y x' = - x - 2 y$

Этап 5.2

Разделим каждый член $y x' = - x - 2 y$ на $y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $y x' = - x - 2 y$ на $y$ .

$\frac{y x'}{y} = \frac{- x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y x'}{y} = \frac{- x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{- x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Разделим $- 2$ на $1$ .

$x' = - \frac{x}{y} - 2$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} - 2$