Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \sin (θ) + 3 \sin (θ) \tan^{2} (θ)}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Этап 1

Вынесем множитель $3 \sin (θ)$ из $3 \sin (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \sin (θ) (1) + 3 \sin (θ) \tan^{2} (θ)}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Этап 2

Вынесем множитель $3 \sin (θ)$ из $3 \sin (θ) \tan^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \sin (θ) (1) + 3 \sin (θ) (\tan^{2} (θ))}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Этап 3

Вынесем множитель $3 \sin (θ)$ из $3 \sin (θ) (1) + 3 \sin (θ) (\tan^{2} (θ))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \sin (θ) (1 + \tan^{2} (θ))}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Этап 4

Переставляем члены.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \sin (θ) (\tan^{2} (θ) + 1)}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Этап 5

Применим формулу Пифагора.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \sin (θ) \sec^{2} (θ)}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Этап 6

Сократим общий множитель $\sec^{2} (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \sin (θ) \sec^{2} (θ)}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Этап 6.2

Разделим $3 \sin (θ)$ на $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 3 \sin (θ) d θ$

Этап 7

Поскольку $3$ — константа по отношению к $θ$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (θ) d θ$

Этап 8

Интеграл $\sin (θ)$ по $θ$ имеет вид $- \cos (θ)$ .

$3 (- \cos (θ)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $- \cos (θ)$ в $\frac{π}{3}$ и в $0$ .

$3 (- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (0))$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} + \cos (0))$

Этап 9.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$3 (- \frac{1}{2} + 1)$

Этап 9.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$3 (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Этап 9.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{- 1 + 2}{2}$

Этап 9.2.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$3 (\frac{1}{2})$

Этап 9.2.6

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3}{2}$

Десятичная форма:

$1.5$

Форма смешанных чисел:

$1 \frac{1}{2}$