Математический анализ Примеры

$\int x (3 x + 5) (4 x - 5) d x$

Этап 1

Пусть $u = 4 x - 5$ . Тогда $d u = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 4 x - 5$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $4 x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $4 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 5]$

$4 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $4$ и $0$ .

$4$

$4$

$4$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{5}{4}) (3 (\frac{u}{4} + \frac{5}{4}) + 5) u \frac{1}{4} d u$

$\int (\frac{u}{4} + \frac{5}{4}) (3 (\frac{u}{4} + \frac{5}{4}) + 5) u \frac{1}{4} d u$

Этап 2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $u$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{5}{4}) (3 (\frac{u}{4} + \frac{5}{4}) + 5) \frac{u}{4} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (\frac{u}{4} + \frac{5}{4}) (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) + 5) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) + 5) + \frac{5}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) + 5)) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4})) + \frac{u}{4} \cdot 5 + \frac{5}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) + 5)) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{u}{4} (3 (\frac{5}{4})) + \frac{u}{4} \cdot 5 + \frac{5}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) + 5)) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{u}{4} (3 (\frac{5}{4})) + \frac{u}{4} \cdot 5 + \frac{5}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4})) + \frac{5}{4} \cdot 5) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{u}{4} (3 (\frac{5}{4})) + \frac{u}{4} \cdot 5 + \frac{5}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4})) + \frac{5}{4} \cdot 5) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{u}{4} (3 (\frac{5}{4})) + \frac{u}{4} \cdot 5) \frac{u}{4} + (\frac{5}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4})) + \frac{5}{4} \cdot 5) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{u}{4} (3 (\frac{5}{4}))) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} + (\frac{5}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4})) + \frac{5}{4} \cdot 5) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.9

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} (3 (\frac{5}{4})) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} + (\frac{5}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4})) + \frac{5}{4} \cdot 5) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.10

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} (3 (\frac{5}{4})) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} + (\frac{5}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4}))) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} d u$

Этап 3.11

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} (3 (\frac{5}{4})) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} + \frac{5}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4})) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} d u$

Этап 3.12

Изменим порядок $\frac{u}{4}$ и $3$ .

$\int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{u}{4} (3 (\frac{5}{4})) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} + \frac{5}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4})) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} d u$

Этап 3.13

Изменим порядок $\frac{u}{4}$ и $3$ .

$\int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} + \frac{5}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4})) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} d u$

Этап 3.14

Изменим порядок $\frac{u}{4}$ и $5$ .

$\int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{5}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4})) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} d u$

Этап 3.15

Изменим порядок $\frac{5}{4}$ и $3$ .

$\int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{5}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4})) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} d u$

Этап 3.16

Изменим порядок $\frac{5}{4}$ и $3$ .

$\int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{5}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{5}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + \frac{5}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} d u$

Этап 3.17

Изменим порядок $\frac{5}{4}$ и $5$ .

$\int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{5}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{5}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \cdot \frac{5}{4} \frac{u}{4} d u$

Этап 3.18

Объединим $3$ и $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.19

Умножим $\frac{3 u}{4}$ на $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u \cdot u}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.20

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int \frac{3 (u^{1} u)}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.21

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int \frac{3 (u^{1} u^{1})}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.22

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{3 u^{1 + 1}}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.23

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \frac{3 u^{2}}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.24

Умножим $4$ на $4$ .

$\int \frac{3 u^{2}}{16} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.25

Умножим $\frac{3 u^{2}}{16}$ на $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{2} u}{16 \cdot 4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.26

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int \frac{3 (u^{2} u^{1})}{16 \cdot 4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.27

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{3 u^{2 + 1}}{16 \cdot 4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.28

Добавим $2$ и $1$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{16 \cdot 4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.29

Умножим $16$ на $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.30

Объединим $3$ и $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u}{4} \cdot \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.31

Умножим $\frac{3 u}{4}$ на $\frac{5}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.32

Умножим $4$ на $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5}{16} \cdot \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.33

Умножим $\frac{3 u \cdot 5}{16}$ на $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{16 \cdot 4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.34

Умножим $16$ на $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.35

Объединим $5$ и $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u}{4} \cdot \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.36

Умножим $\frac{5 u}{4}$ на $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u \cdot u}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.37

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 (u^{1} u)}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.38

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 (u^{1} u^{1})}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.39

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{1 + 1}}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.40

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.41

Умножим $4$ на $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.42

Объединим $3$ и $\frac{5}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{3 \cdot 5}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.43

Умножим $3$ на $5$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.44

Умножим $\frac{15}{4}$ на $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.45

Умножим $4$ на $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u}{16} \cdot \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.46

Умножим $\frac{15 u}{16}$ на $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u \cdot u}{16 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.47

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 (u^{1} u)}{16 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.48

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 (u^{1} u^{1})}{16 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.49

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{1 + 1}}{16 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.50

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{16 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.51

Умножим $16$ на $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.52

Объединим $3$ и $\frac{5}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{3 \cdot 5}{4} \cdot \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.53

Умножим $3$ на $5$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{15}{4} \cdot \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.54

Умножим $\frac{15}{4}$ на $\frac{5}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{15 \cdot 5}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.55

Умножим $15$ на $5$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.56

Умножим $4$ на $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75}{16} \cdot \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.57

Умножим $\frac{75}{16}$ на $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{16 \cdot 4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.58

Умножим $16$ на $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{64} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 3.59

Объединим $5$ и $\frac{5}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{64} + \frac{5 \cdot 5}{4} \cdot \frac{u}{4} d u$

Этап 3.60

Умножим $5$ на $5$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{64} + \frac{25}{4} \cdot \frac{u}{4} d u$

Этап 3.61

Умножим $\frac{25}{4}$ на $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{64} + \frac{25 u}{4 \cdot 4} d u$

Этап 3.62

Умножим $4$ на $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{64} + \frac{25 u}{16} d u$

Этап 3.63

Чтобы записать $\frac{25 u}{16}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{64} + \frac{25 u}{16} \cdot \frac{4}{4} d u$

Этап 3.64

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $64$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.64.1

Умножим $\frac{25 u}{16}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{64} + \frac{25 u \cdot 4}{16 \cdot 4} d u$

Этап 3.64.2

Умножим $16$ на $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{64} + \frac{25 u \cdot 4}{64} d u$

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{64} + \frac{25 u \cdot 4}{64} d u$

Этап 3.65

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u + 25 u \cdot 4}{64} d u$

Этап 3.66

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2} + 75 u + 25 u \cdot 4}{64} d u$

Этап 3.67

Чтобы записать $\frac{5 u^{2}}{16}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} \cdot \frac{4}{4} + \frac{15 u^{2} + 75 u + 25 u \cdot 4}{64} d u$

Этап 3.68

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $64$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.68.1

Умножим $\frac{5 u^{2}}{16}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2} \cdot 4}{16 \cdot 4} + \frac{15 u^{2} + 75 u + 25 u \cdot 4}{64} d u$

Этап 3.68.2

Умножим $16$ на $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{15 u^{2} + 75 u + 25 u \cdot 4}{64} d u$

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{15 u^{2} + 75 u + 25 u \cdot 4}{64} d u$

Этап 3.69

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2} \cdot 4 + 15 u^{2} + 75 u + 25 u \cdot 4}{64} d u$

Этап 3.70

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u + 5 u^{2} \cdot 4 + 15 u^{2} + 75 u + 25 u \cdot 4}{64} d u$

Этап 3.71

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \frac{3 u^{3} + 3 u \cdot 5 u + 5 u^{2} \cdot 4 + 15 u^{2} + 75 u + 25 u \cdot 4}{64} d u$

Этап 3.72

Изменим порядок $75 u$ и $25 u \cdot 4$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 3 u \cdot 5 u + 5 u^{2} \cdot 4 + 15 u^{2} + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Этап 3.73

Изменим порядок $5 u^{2} \cdot 4$ и $15 u^{2}$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 3 u \cdot 5 u + 15 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 4 + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Этап 3.74

Изменим порядок $3 u \cdot 5 u$ и $15 u^{2}$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 15 u^{2} + 3 u \cdot 5 u + 5 u^{2} \cdot 4 + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

$\int \frac{3 u^{3} + 15 u^{2} + 3 u \cdot 5 u + 5 u^{2} \cdot 4 + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $5$ на $3$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 15 u^{2} + 15 u \cdot u + 5 u^{2} \cdot 4 + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Этап 4.2

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 15 u^{2} + 15 (u^{1} u) + 5 u^{2} \cdot 4 + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Этап 4.3

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 15 u^{2} + 15 (u^{1} u^{1}) + 5 u^{2} \cdot 4 + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Этап 4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{3 u^{3} + 15 u^{2} + 15 u^{1 + 1} + 5 u^{2} \cdot 4 + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Этап 4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 15 u^{2} + 15 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 4 + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Этап 4.6

Добавим $15 u^{2}$ и $15 u^{2}$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 30 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 4 + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Этап 4.7

Умножим $4$ на $5$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 30 u^{2} + 20 u^{2} + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Этап 4.8

Добавим $30 u^{2}$ и $20 u^{2}$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 50 u^{2} + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Этап 4.9

Умножим $4$ на $25$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 50 u^{2} + 100 u + 75 u}{64} d u$

Этап 4.10

Добавим $100 u$ и $75 u$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 50 u^{2} + 175 u}{64} d u$

$\int \frac{3 u^{3} + 50 u^{2} + 175 u}{64} d u$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{64}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{64}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{64} \int 3 u^{3} + 50 u^{2} + 175 u d u$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{64} (\int 3 u^{3} d u + \int 50 u^{2} d u + \int 175 u d u)$

Этап 7

Поскольку $3$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{64} (3 \int u^{3} d u + \int 50 u^{2} d u + \int 175 u d u)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{64} (3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int 50 u^{2} d u + \int 175 u d u)$

Этап 9

Поскольку $50$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $50$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{64} (3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 50 \int u^{2} d u + \int 175 u d u)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{64} (3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 50 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 175 u d u)$

Этап 11

Поскольку $175$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $175$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{64} (3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 50 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 175 \int u d u)$

Этап 12

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{64} (3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 50 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 175 (\frac{1}{2} u^{2} + C))$

Этап 13

Упростим.

$\frac{1}{64} (\frac{3 u^{4}}{4} + \frac{50 u^{3}}{3} + \frac{175 u^{2}}{2}) + C$

Этап 14

Заменим все вхождения $u$ на $4 x - 5$ .

$\frac{1}{64} (\frac{3 {(4 x - 5)}^{4}}{4} + \frac{50 {(4 x - 5)}^{3}}{3} + \frac{175 {(4 x - 5)}^{2}}{2}) + C$

Этап 15

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{64} (\frac{3}{4} {(4 x - 5)}^{4} + \frac{50}{3} {(4 x - 5)}^{3} + \frac{175}{2} {(4 x - 5)}^{2}) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$