Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{2 x - 1}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x^{2} + 7 x - 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 7 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 7 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 7 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.4

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 7 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 7 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{1}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{2 {(\frac{1}{2})}^{2} + 7 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{2 {(\frac{1}{2})}^{2} + 7 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 7 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.7.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2^{2}$ .

$\frac{2 \frac{1^{2}}{2 \cdot 2} + 7 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.7.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \frac{1^{2}}{2 \cdot 2} + 7 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.7.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{1^{2}}{2} + 7 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.7.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\frac{1}{2} + 7 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.7.1.4

Объединим $7$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} + \frac{7}{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.7.1.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{\frac{1}{2} + \frac{7}{2} - 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 4 + \frac{1 + 7}{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.7.3

Добавим $1$ и $7$ .

$\frac{- 4 + \frac{8}{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.7.4

Разделим $8$ на $2$ .

$\frac{- 4 + 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.7.5

Добавим $- 4$ и $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{0}{2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0}{2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{2 x - 1} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 7 x - 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 7 x - 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $2 x^{2} + 7 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $7$ на $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7 + 0}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.6

Добавим $4 x + 7$ и $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.8.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7}{2 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7}{2 + 0}$

Этап 1.3.10

Добавим $2$ и $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7}{2}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x + 7$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 7)$

Этап 2.3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 7)$

Этап 2.4

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 7)$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{1}{2} (4 (\frac{1}{2}) + 7)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{2} (2 (2) \frac{1}{2} + 7)$

Этап 4.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 2 \frac{1}{2} + 7)$

Этап 4.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (2 + 7)$

Этап 4.2

Добавим $2$ и $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9$

Этап 4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $9$ .

$\frac{9}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{9}{2}$

Десятичная форма:

$4.5$