Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 3}}{2 x + 1}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}}{2 + \frac{1}{x}}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}}{2 + \frac{1}{x}}$

Этап 2.2.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}}}{2 + \frac{1}{x}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Этап 2.4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Этап 2.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Этап 2.7

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 4.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{2 + 0}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0}}{2 + 0}$

Этап 6.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{1}}{2 + 0}$

Этап 6.1.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{2 + 0}$

Этап 6.2

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$