Математический анализ Примеры

$\sqrt{1 - x}$

Этап 1

Запишем $\sqrt{1 - x}$ в виде функции.

$f (x) = \sqrt{1 - x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sqrt{1 - x} d x$

Этап 4

Пусть $u = 1 - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 1 - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - 1$

Этап 4.1.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int - \sqrt{u} d u$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \sqrt{u} d u$

Этап 6

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 8

Перепишем $- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ в виде $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x$ .

$- \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sqrt{1 - x}$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + C$