Математический анализ Примеры

$y = \cos (x + \frac{π}{4})$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = x + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + \frac{π}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Этап 1.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + \frac{π}{4}$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x + \frac{π}{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Этап 1.2.3

Поскольку $\frac{π}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π}{4}$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

Этап 1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

Этап 1.2.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4})$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x + \frac{π}{4})$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x + \frac{π}{4})]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \sin (x + \frac{π}{4})$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + \frac{π}{4}$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - (\cos (u) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + \frac{π}{4}$ .

$f'' (x) = - (\cos (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $x + \frac{π}{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$f'' (x) = - \cos (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{4}))$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \cos (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{4}))$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{π}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π}{4}$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \cos (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

Этап 2.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - \cos (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

Этап 2.3.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - \cos (x + \frac{π}{4})$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- \sin (x + \frac{π}{4})}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (x + \frac{π}{4})}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 4.2.2

Разделим $\sin (x + \frac{π}{4})$ на $1$ .

$\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{0}{- 1}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$\sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

Этап 5

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x + \frac{π}{4} = \arcsin (0)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x + \frac{π}{4} = 0$

Этап 7

Вычтем $\frac{π}{4}$ из обеих частей уравнения.

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 8

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x + \frac{π}{4} = π - 0$

Этап 9

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вычтем $0$ из $π$ .

$x + \frac{π}{4} = π$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $\frac{π}{4}$ из обеих частей уравнения.

$x = π - \frac{π}{4}$

Этап 9.2.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 9.2.3

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 9.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 9.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 9.2.5.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 10

Решение уравнения $x + \frac{π}{4} = 0$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Этап 11

Найдем вторую производную в $x = - \frac{π}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \cos ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

Этап 12

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \cos (\frac{- π + π}{4})$

Этап 12.2

Добавим $- π$ и $π$ .

$- \cos (\frac{0}{4})$

Этап 12.3

Разделим $0$ на $4$ .

$- \cos (0)$

Этап 12.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 12.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 13

$x = - \frac{π}{4}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{π}{4}$ — локальный максимум

Этап 14

Найдем значение y, если $x = - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{π}{4}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \cos ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

Этап 14.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{π}{4}) = \cos (\frac{- π + π}{4})$

Этап 14.2.2

Добавим $- π$ и $π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \cos (\frac{0}{4})$

Этап 14.2.3

Разделим $0$ на $4$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \cos (0)$

Этап 14.2.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 1$

Этап 14.2.5

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 15

Найдем вторую производную в $x = \frac{3 π}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Этап 16

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \cos (\frac{3 π + π}{4})$

Этап 16.2

Добавим $3 π$ и $π$ .

$- \cos (\frac{4 π}{4})$

Этап 16.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Сократим общий множитель.

$- \cos (\frac{4 π}{4})$

Этап 16.3.2

Разделим $π$ на $1$ .

$- \cos (π)$

Этап 16.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- - \cos (0)$

Этап 16.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Этап 16.6

Умножим $- (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- - 1$

Этап 16.6.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1$

Этап 17

$x = \frac{3 π}{4}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{3 π}{4}$ — локальный минимум

Этап 18

Найдем значение y, если $x = \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Этап 18.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3 π}{4}) = \cos (\frac{3 π + π}{4})$

Этап 18.2.2

Добавим $3 π$ и $π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \cos (\frac{4 π}{4})$

Этап 18.2.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{4}) = \cos (\frac{4 π}{4})$

Этап 18.2.3.2

Разделим $π$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \cos (π)$

Этап 18.2.4

$f (\frac{3 π}{4}) = - \cos (0)$

Этап 18.2.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 \cdot 1$

Этап 18.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1$

Этап 18.2.7

Окончательный ответ: $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 19

Это локальные экстремумы $f (x) = \cos (x + \frac{π}{4})$ .

$(- \frac{π}{4}, 1)$ — локальный максимум

$(\frac{3 π}{4}, - 1)$ — локальный минимум

Этап 20