Математический анализ Примеры

$\ln ({(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = {(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\frac{x + 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2 x - 1}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2 x - 1}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\frac{x + 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (2 \frac{x + 1}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2 x - 1}])$

Этап 3

Объединим $2$ и $\frac{x + 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2 x - 1}])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 1$ и $g (x) = 2 x - 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Этап 5.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Этап 5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Этап 5.4.2

Умножим $2 x - 1$ на $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Этап 5.5

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Этап 5.6

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Этап 5.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Этап 5.8

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Этап 5.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Этап 5.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Этап 5.10.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - 2 (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Этап 5.10.3

Умножим $\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1}$ на $\frac{2 x - 1 - 2 (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 6

Умножим $2 x - 1$ на ${(2 x - 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $2 x - 1$ на ${(2 x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $2 x - 1$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{1} {(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{1 + 2}}$

Этап 6.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим правило умножения к $\frac{x + 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}} \cdot \frac{(2 x + 2 \cdot 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}} \cdot \frac{(2 x + 2 \cdot 1) (2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Этап 7.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

$1 \frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \frac{(2 x + 2 \cdot 1) (2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Этап 7.4.2

Умножим $\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ на $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2 \cdot 1) (2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Этап 7.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) (2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Этап 7.4.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) (2 x - 1 - 2 x - 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Этап 7.4.5

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) (0 - 1 - 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Этап 7.4.6

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) (- 1 - 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Этап 7.4.7

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) \cdot - 3}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Этап 7.4.8

Перенесем $- 3$ влево от $2 x + 2$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{- 3 \cdot (2 x + 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Этап 7.4.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{3 (2 x + 2)}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Этап 7.4.10

Умножим $\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ на $\frac{3 (2 x + 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$ .

$- \frac{{(2 x - 1)}^{2} (3 (2 x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}}$

Этап 7.4.11

Перенесем $3$ влево от ${(2 x - 1)}^{2}$ .

$- \frac{3 \cdot {(2 x - 1)}^{2} (2 x + 2)}{{(x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}}$

Этап 7.4.12

Сократим общий множитель ${(2 x - 1)}^{2}$ и ${(2 x - 1)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.12.1

Вынесем множитель ${(2 x - 1)}^{2}$ из $3 {(2 x - 1)}^{2} (2 x + 2)$ .

$- \frac{{(2 x - 1)}^{2} (3 (2 x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}}$

Этап 7.4.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.12.2.1

Вынесем множитель ${(2 x - 1)}^{2}$ из ${(x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}$ .

$- \frac{{(2 x - 1)}^{2} (3 (2 x + 2))}{{(2 x - 1)}^{2} ({(x + 1)}^{2} (2 x - 1))}$

Этап 7.4.12.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{{(2 x - 1)}^{2} (3 (2 x + 2))}{{(2 x - 1)}^{2} ({(x + 1)}^{2} (2 x - 1))}$

Этап 7.4.12.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3 (2 x + 2)}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Этап 7.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$- \frac{3 (2 (x) + 2)}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Этап 7.5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{3 (2 (x) + 2 (1))}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Этап 7.5.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (1)$ .

$- \frac{3 (2 (x + 1))}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

$- \frac{3 \cdot 2 (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Этап 7.5.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{6 (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Этап 7.6

Сократим общий множитель $x + 1$ и ${(x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $6 (x + 1)$ .

$- \frac{(x + 1) \cdot 6}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Этап 7.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1

Вынесем множитель $x + 1$ из ${(x + 1)}^{2} (2 x - 1)$ .

$- \frac{(x + 1) \cdot 6}{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 1))}$

Этап 7.6.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{(x + 1) \cdot 6}{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 1))}$

Этап 7.6.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{6}{(x + 1) (2 x - 1)}$