Математический анализ Примеры

$y = {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{7}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{7}$ и $g (x) = \frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 x^{2} + 2$ и $g (x) = x + 1$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2] - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $3$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [2]) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (6 x + 0) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $6 x$ и $0$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (6 x) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.6.2

Перенесем $6$ влево от $x + 1$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 \cdot (x + 1) x - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Добавим $1$ и $0$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.10.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.10.3

Объединим $\frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$ и $7$ .

$\frac{(6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2)) \cdot 7}{{(x + 1)}^{2}} {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6}$

Этап 3.10.4

Перенесем $7$ влево от $6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2)$ .

$\frac{7 \cdot (6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2))}{{(x + 1)}^{2}} {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило умножения к $\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}$ .

$\frac{7 (6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2))}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 ((6 x + 6 \cdot 1) x - (3 x^{2} + 2))}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 (6 x \cdot x + 6 \cdot 1 x - (3 x^{2} + 2))}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Этап 4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 (6 x \cdot x + 6 \cdot 1 x - (3 x^{2}) - 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Этап 4.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 (6 x \cdot x) + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Этап 4.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{7 (6 (x^{1} x)) + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{7 (6 (x^{1} x^{1})) + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{7 (6 x^{1 + 1}) + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{7 (6 x^{2}) + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.5

Умножим $6$ на $7$ .

$\frac{42 x^{2} + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.6

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{42 x^{2} + 7 (6 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.7

Умножим $6$ на $7$ .

$\frac{42 x^{2} + 42 x + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.8

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{42 x^{2} + 42 x + 7 (- 3 x^{2}) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.9

Умножим $- 3$ на $7$ .

$\frac{42 x^{2} + 42 x - 21 x^{2} + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.10

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{42 x^{2} + 42 x - 21 x^{2} + 7 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.11

Умножим $7$ на $- 2$ .

$\frac{42 x^{2} + 42 x - 21 x^{2} - 14}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.12

Вычтем $21 x^{2}$ из $42 x^{2}$ .

$\frac{21 x^{2} + 42 x - 14}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.13

Умножим $\frac{21 x^{2} + 42 x - 14}{{(x + 1)}^{2}}$ на $\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$ .

$\frac{(21 x^{2} + 42 x - 14) {(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{6}}$

Этап 4.6.14

Умножим ${(x + 1)}^{2}$ на ${(x + 1)}^{6}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.14.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(21 x^{2} + 42 x - 14) {(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{2 + 6}}$

Этап 4.6.14.2

Добавим $2$ и $6$ .

$\frac{(21 x^{2} + 42 x - 14) {(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{8}}$

Этап 4.7

Изменим порядок членов.

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (21 x^{2} + 42 x - 14)}{{(x + 1)}^{8}}$

Этап 4.8

Вынесем множитель $7$ из $21 x^{2} + 42 x - 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Вынесем множитель $7$ из $21 x^{2}$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (7 (3 x^{2}) + 42 x - 14)}{{(x + 1)}^{8}}$

Этап 4.8.2

Вынесем множитель $7$ из $42 x$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (7 (3 x^{2}) + 7 (6 x) - 14)}{{(x + 1)}^{8}}$

Этап 4.8.3

Вынесем множитель $7$ из $- 14$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (7 (3 x^{2}) + 7 (6 x) + 7 (- 2))}{{(x + 1)}^{8}}$

Этап 4.8.4

Вынесем множитель $7$ из $7 (3 x^{2}) + 7 (6 x)$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (7 (3 x^{2} + 6 x) + 7 (- 2))}{{(x + 1)}^{8}}$

Этап 4.8.5

Вынесем множитель $7$ из $7 (3 x^{2} + 6 x) + 7 (- 2)$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (7 (3 x^{2} + 6 x - 2))}{{(x + 1)}^{8}}$

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} \cdot 7 (3 x^{2} + 6 x - 2)}{{(x + 1)}^{8}}$

Этап 4.9

Перенесем $7$ влево от ${(3 x^{2} + 2)}^{6}$ .

$\frac{7 {(3 x^{2} + 2)}^{6} (3 x^{2} + 6 x - 2)}{{(x + 1)}^{8}}$