Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} {(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x}$ в виде $e^{\ln ({(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}$

Этап 2

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}$

Этап 3

Перепишем $x \ln (\frac{3 x}{3 x + 1})$ в виде $\frac{\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}{\frac{1}{x}}}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{3 x + 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.1.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{x}{3 x + 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.3.2.2

Разделим $3$ на $1$ .

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (3 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.3.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (3 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.3.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (3 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.3.6

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (3 \frac{1}{3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$e^{\frac{\ln (3 \frac{1}{3 + 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Добавим $3$ и $0$ .

$e^{\frac{\ln (3 (\frac{1}{3}))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.5.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\ln (3 (\frac{1}{3}))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.5.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.5.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.3

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 4.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 4.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{3 x}{3 x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{3 x}{3 x + 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{3 x}{3 x + 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{3 x}{3 x + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{3 x}{3 x + 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{3 x + 1}{3 x} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.4

Умножим $\frac{3 x + 1}{3 x}$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{3 x} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 x}{3 x + 1}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.6

Объединим $3$ и $\frac{3 x + 1}{3 x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 (3 x + 1)}{3 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Сократим общий множитель.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 (3 x + 1)}{3 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.7.2

Перепишем это выражение.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.8

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 3 x + 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{(3 x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{(3 x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.10

Умножим $3 x + 1$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.11

По правилу суммы производная $3 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.12

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.14

Умножим $3$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (3 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.15

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (3 + 0)}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.16

Добавим $3$ и $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x \cdot 3}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.17

Умножим $3$ на $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - 3 x}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.18

Вычтем $3 x$ из $3 x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{0 + 1}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.19

Добавим $0$ и $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.20

Умножим $\frac{3 x + 1}{x}$ на $\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x {(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.21

Сократим общий множитель $3 x + 1$ и ${(3 x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.21.1

Умножим на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(3 x + 1) \cdot 1}{x {(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.21.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.21.2.1

Вынесем множитель $3 x + 1$ из $x {(3 x + 1)}^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(3 x + 1) \cdot 1}{(3 x + 1) x (3 x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.21.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(3 x + 1) \cdot 1}{(3 x + 1) x (3 x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.21.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (3 x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.22

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (3 x + 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Этап 4.3.23

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (3 x + 1)}}{- x^{- 2}}}$

Этап 4.3.24

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (3 x + 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (3 x + 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

Этап 4.5

Объединим $\frac{1}{x (3 x + 1)}$ и $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{x^{2}}{x (3 x + 1)}}$

Этап 4.6

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{x \cdot x}{x (3 x + 1)}}$

Этап 4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{x \cdot x}{x (3 x + 1)}}$

Этап 4.6.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{x}{3 x + 1}}$

Этап 5

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{x}{3 x + 1}}$

Этап 6

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Сократим общий множитель.

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Этап 7.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Этап 7.2.2

Разделим $3$ на $1$ .

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 + \frac{1}{x}}}$

Этап 7.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x}}}$

Этап 7.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{- \frac{1}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x}}}$

Этап 7.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{- \frac{1}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 7.6

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{- \frac{1}{3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 8

$e^{- \frac{1}{3 + 0}}$

Этап 9

Добавим $3$ и $0$ .

$e^{- \frac{1}{3}}$

Этап 10

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$