Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} 5^{\frac{3 x}{2}} d x$

Этап 1

Пусть $u = \frac{3 x}{2}$ . Тогда $d u = \frac{3}{2} d x$ , следовательно $\frac{2}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \frac{3 x}{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\frac{3 x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $\frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 x}{2}$ по $x$ равна $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$\frac{3}{2}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{3 x}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 0}{2}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $3 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2}$

Этап 1.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2 (1)}$

Этап 1.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 0}{1}$

Этап 1.3.1.2.4

Разделим $3 \cdot 0$ на $1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Этап 1.3.2

Умножим $3$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{3 x}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{3 \cdot 1}{2}$

Этап 1.5

Умножим $3$ на $1$ .

$u_{upper} = \frac{3}{2}$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3}{2}$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{3}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot (1 (\frac{2}{3})) d u$

Этап 2.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot \frac{2}{3} d u$

Этап 2.3

Объединим $5^{u}$ и $\frac{2}{3}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{5^{u} \cdot 2}{3} d u$

Этап 2.4

Перенесем $2$ влево от $5^{u}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{2 \cdot 5^{u}}{3} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} \int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} d u$

Этап 4

Интеграл $5^{u}$ по $u$ имеет вид $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ .

$\frac{2}{3} \frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}}$

Этап 5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $\frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (\frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}})}{3}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ в $\frac{3}{2}$ и в $0$ .

$\frac{2 ((\frac{5^{\frac{3}{2}}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)})}{3}$

Этап 6.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{2 (\frac{5^{\frac{3}{2}}}{\ln (5)} - \frac{1}{\ln (5)})}{3}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \frac{5^{\frac{3}{2}} - 1}{\ln (5)}}{3}$

Этап 7.2

Объединим $2$ и $\frac{5^{\frac{3}{2}} - 1}{\ln (5)}$ .

$\frac{\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5)}}{3}$

Этап 7.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 7.4

Объединим.

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1) \cdot 1}{\ln (5) \cdot 3}$

Этап 7.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5) \cdot 3}$

Этап 7.6

Перенесем $3$ влево от $\ln (5)$ .

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{3 \ln (5)}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{3 \ln (5)}$

Десятичная форма:

$4.21693387 \dots$

Этап 9