Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{{(3 + x)}^{4} - 81}{6 x}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{6}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{{(3 + x)}^{4} - 81}{x}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(3 + x)}^{4} - 81}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(3 + x)}^{4} - lim_{x \to 0} 81}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.1.2

Вынесем степень $4$ в выражении ${(3 + x)}^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 3 + x)}^{4} - lim_{x \to 0} 81}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 3 + lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 81}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.1.4

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(3 + lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 81}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.1.5

Найдем предел $81$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(3 + lim_{x \to 0} x)}^{4} - 1 \cdot 81}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(3 + 0)}^{4} - 1 \cdot 81}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3^{4} - 1 \cdot 81}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Возведем $3$ в степень $4$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{81 - 1 \cdot 81}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $81$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{81 - 81}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3.2

Вычтем $81$ из $81$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{{(3 + x)}^{4} - 81}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4} - 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4} - 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная ${(3 + x)}^{4} - 81$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = 3 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 + x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 + x] + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 + x] + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 + x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 + x] + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.2

По правилу суммы производная $3 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.5

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.6

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 81$ является константой относительно $x$ , производная $- 81$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.5

Добавим $4 {(3 + x)}^{3}$ и $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3}}{1}$

Этап 2.4

Разделим $4 {(3 + x)}^{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} 4 {(3 + x)}^{3}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 lim_{x \to 0} {(3 + x)}^{3}$

Этап 3.2

Вынесем степень $3$ в выражении ${(3 + x)}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{6} \cdot 4 {(lim_{x \to 0} 3 + x)}^{3}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 {(lim_{x \to 0} 3 + lim_{x \to 0} x)}^{3}$

Этап 3.4

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 {(3 + lim_{x \to 0} x)}^{3}$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 {(3 + 0)}^{3}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{1}{2 (3)} \cdot 4 {(3 + 0)}^{3}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2) {(3 + 0)}^{3}$

Этап 5.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2) {(3 + 0)}^{3}$

Этап 5.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \cdot 2 {(3 + 0)}^{3}$

Этап 5.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2$ .

$\frac{2}{3} {(3 + 0)}^{3}$

Этап 5.3

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3^{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2})$

Этап 5.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2})$

Этап 5.4.3

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 3^{2}$

Этап 5.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$2 \cdot 9$

Этап 5.6

Умножим $2$ на $9$ .

$18$