Математический анализ Примеры

$f (x) = e^{x^{2} - 1}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 1$ .

$e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x + 0)$

Этап 1.2.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Изменим порядок множителей в $e^{x^{2} - 1} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2} - 1} x$

Этап 1.3.2

Изменим порядок множителей в $2 e^{x^{2} - 1} x$ .

$2 x e^{x^{2} - 1}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x e^{x^{2} - 1}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2} - 1}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x e^{x^{2} - 1})$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x^{2} - 1}$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 1}) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.2

$f'' (x) = 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.4.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 1} (2 x + 0)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.4.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 1} (2 x)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (e^{x^{2} - 1} \cdot (2)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (e^{x^{2} - 1} \cdot (2)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 (x^{1 + 1} (e^{x^{2} - 1} \cdot (2)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (e^{x^{2} - 1} \cdot (2)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.8.2

Перенесем $2$ влево от $e^{x^{2} - 1}$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2} - 1}) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2} - 1}) + e^{x^{2} - 1} \cdot 1)$

Этап 2.10

Умножим $e^{x^{2} - 1}$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2} - 1}) + e^{x^{2} - 1})$

Этап 2.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2} - 1})) + 2 e^{x^{2} - 1}$

Этап 2.11.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{x^{2} - 1} + 2 e^{x^{2} - 1}$

Этап 2.11.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 1} x^{2} + 2 e^{x^{2} - 1}$

Этап 2.11.4

Изменим порядок множителей в $4 e^{x^{2} - 1} x^{2} + 2 e^{x^{2} - 1}$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{x^{2} - 1} + 2 e^{x^{2} - 1}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2 x e^{x^{2} - 1} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 4.1.1.2

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 4.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 1$ .

$e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 4.1.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x + 0)$

Этап 4.1.2.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x)$

Этап 4.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Изменим порядок множителей в $e^{x^{2} - 1} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2} - 1} x$

Этап 4.1.3.2

Изменим порядок множителей в $2 e^{x^{2} - 1} x$ .

$f' (x) = 2 x e^{x^{2} - 1}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x e^{x^{2} - 1}$ .

$2 x e^{x^{2} - 1}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x e^{x^{2} - 1} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 x e^{x^{2} - 1} = 0$

Этап 5.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$e^{x^{2} - 1} = 0$

Этап 5.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.4

Приравняем $e^{x^{2} - 1}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $e^{x^{2} - 1}$ к $0$ .

$e^{x^{2} - 1} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $e^{x^{2} - 1} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x^{2} - 1}) = \ln (0)$

Этап 5.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 5.4.2.3

Нет решения для $e^{x^{2} - 1} = 0$

Нет решения

Этап 5.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x e^{x^{2} - 1} = 0$ верно.

$x = 0$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$4 {(0)}^{2} e^{{(0)}^{2} - 1} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 \cdot 0 e^{{(0)}^{2} - 1} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

Этап 9.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$0 e^{{(0)}^{2} - 1} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

Этап 9.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 e^{0 - 1} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

Этап 9.1.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$0 e^{- 1} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

Этап 9.1.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 \frac{1}{e} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

Этап 9.1.6

Умножим $0$ на $\frac{1}{e}$ .

$0 + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

Этап 9.1.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 2 e^{0 - 1}$

Этап 9.1.8

Вычтем $1$ из $0$ .

$0 + 2 e^{- 1}$

Этап 9.1.9

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 2 \frac{1}{e}$

Этап 9.1.10

Объединим $2$ и $\frac{1}{e}$ .

$0 + \frac{2}{e}$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $\frac{2}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = e^{{(0)}^{2} - 1}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = e^{0 - 1}$

Этап 11.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$f (0) = e^{- 1}$

Этап 11.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (0) = \frac{1}{e}$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = e^{x^{2} - 1}$ .

$(0, \frac{1}{e})$ — локальный минимум

Этап 13