Математический анализ Примеры

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 x)}^{2}}} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 (x))}^{2}}} d x$

Этап 1.2

Применим правило умножения к $2 (x)$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (2^{2} x^{2})}} d x$

Этап 1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (4 x^{2})}} d x$

Этап 1.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Этап 1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x)$

Этап 4

Пусть $x = \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\cos (t)$ положительно.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Этап 5.1.4

Применим формулу Пифагора.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 5.1.5

Перепишем $4 \cos^{2} (t)$ в виде ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Этап 5.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) (2 \cos (t))} \cos (t) d t$

Этап 5.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $\cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $\cos (t)$ из $\sin (t) (2 \cos (t))$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\cos (t) (\sin (t) \cdot (2))} \cos (t) d t$

Этап 5.2.1.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\cos (t) (\sin (t) \cdot (2))} \cos (t) d t$

Этап 5.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \cdot (2)} d t$

Этап 5.2.2

Перенесем $2$ влево от $\sin (t)$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 \sin (t)} d t$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin (t)} d t)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Переведем $\frac{1}{\sin (t)}$ в $\csc (t)$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \csc (t) d t)$

Этап 7.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 4} \int \csc (t) d t$

Этап 7.3

Умножим $2$ на $4$ .

$- \frac{1}{8} \int \csc (t) d t$

Этап 8

Интеграл $\csc (t)$ по $t$ имеет вид $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$- \frac{1}{8} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Этап 9

Упростим.

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (x)$ .

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (\arcsin (x)) - \cot (\arcsin (x)) |) + C$