Математический анализ Примеры

$y + x^{3} y - 5 x = 0$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y + x^{3} y - 5 x) = \frac{d}{d x} (0)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $y + x^{3} y - 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

$y' + x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y' + x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$y' + x^{3} y' + y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Этап 2.3.4

Перенесем $3$ влево от $y$ .

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} - 5 \cdot 1$

Этап 2.4.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} - 5$

Этап 2.5

Изменим порядок членов.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y + y' - 5$

Этап 3

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y + y' - 5 = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $3 x^{2} y$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} y' + y' - 5 = - 3 x^{2} y$

Этап 5.1.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x^{3} y' + y' = - 3 x^{2} y + 5$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y'$ из $x^{3} y' + y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $x^{3} y'$ .

$y' x^{3} + y' = - 3 x^{2} y + 5$

Этап 5.2.2

Возведем $y'$ в степень $1$ .

$y' x^{3} + y' = - 3 x^{2} y + 5$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{1}$ .

$y' x^{3} + y' \cdot 1 = - 3 x^{2} y + 5$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' x^{3} + y' \cdot 1$ .

$y' (x^{3} + 1) = - 3 x^{2} y + 5$

Этап 5.3

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$y' (x^{3} + 1^{3}) = - 3 x^{2} y + 5$

Этап 5.4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$y' ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) = - 3 x^{2} y + 5$

Этап 5.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y' ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) = - 3 x^{2} y + 5$

Этап 5.5.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$y' ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) = - 3 x^{2} y + 5$

Этап 5.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$y' (x + 1) (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{2} y + 5$

Этап 5.6

Разделим каждый член $y' (x + 1) (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{2} y + 5$ на $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Разделим каждый член $y' (x + 1) (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{2} y + 5$ на $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{y' (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Этап 5.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Этап 5.6.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Этап 5.6.2.2

Сократим общий множитель $x^{2} - x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Этап 5.6.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Этап 5.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$