Математический анализ Примеры

$\frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}}$

Этап 1

Запишем $\frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}} d x$

Этап 4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x + 3}} d x$

Этап 5

Пусть $u = x + 3$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = x + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 5.1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Этап 6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{u}$ в виде $u^{\frac{1}{3}}$ .

$3 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Этап 6.2

Вынесем $u^{\frac{1}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$3 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Этап 6.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Этап 6.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$3 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Этап 6.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{3}}$ по $u$ имеет вид $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$3 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $3 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ в виде $3 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$3 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $3$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 8.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{9}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $x + 3$ .

$\frac{9}{2} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{9}{2} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} + C$