Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0^{+}} {\sinh (3 x)}^{x}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${\sinh (3 x)}^{x}$ в виде $e^{\ln ({\sinh (3 x)}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sinh (3 x)}^{x})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({\sinh (3 x)}^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\sinh (3 x))}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\sinh (3 x))}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sinh (3 x))}$

Этап 2.3

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot \ln (lim_{x \to 0^{+}} \sinh (3 x))}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{0 \cdot \ln (lim_{x \to 0^{+}} \sinh (3 x))}$

Этап 3.2

Найдем предел $\sinh (3 x)$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{0 \cdot \ln (\sinh (3 \cdot 0))}$

Этап 3.3

Умножим $3$ на $0$ .

$e^{0 \cdot \ln (\sinh (0))}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $0 \cdot \ln (\sinh (0))$ путем переноса $0$ под логарифм.

$e^{\ln (\sinh^{0} (0))}$

Этап 4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\sinh^{0} (0)$

Этап 4.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1$