Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{7 x - 9}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{7 x - 9}} d x$

Этап 3

Пусть $u = 7 x - 9$ . Тогда $d u = 7 d x$ , следовательно $\frac{1}{7} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = 7 x - 9$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $7 x - 9$ .

$\frac{d}{d x} [7 x - 9]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $7 x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 3.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 3.1.3.3

Умножим $7$ на $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 3.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$7 + 0$

Этап 3.1.4.2

Добавим $7$ и $0$ .

$7$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{7} d u$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{7}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 7} d u$

Этап 4.2

Перенесем $7$ влево от $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{7 \sqrt{u}} d u$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{7}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{7}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{7} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 6.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{7} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 6.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 6.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{7} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 6.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{7} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{7} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $\frac{1}{7} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ в виде $\frac{1}{7} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{7} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{7}$ и $2$ .

$\frac{2}{7} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $7 x - 9$ .

$\frac{2}{7} {(7 x - 9)}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{\sqrt{7 x - 9}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{7} {(7 x - 9)}^{\frac{1}{2}} + C$