Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x - 1}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x - 1}$ в виде ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ имеет вид $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , где $f (y) = 1$ и $g (y) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Этап 4.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Этап 4.2.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ на $0$ .

$\frac{0 - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.2.4.2

Вычтем $\frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ из $0$ .

$\frac{- \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.2.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{\frac{1}{3}}$ и $g (y) = x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 1$ .

$- \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$- \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.7.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.8.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$- \frac{\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.8.3

Перенесем ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.9

По правилу суммы производная $x - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.10

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (x' + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (x' + 0)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Добавим $x'$ и $0$ .

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} x'}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.12.2

Объединим $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ и $x'$ .

$- \frac{\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.13

Перепишем $\frac{\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ в виде произведения.

$- (\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 4.14

Умножим $\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ на $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.15

Умножим ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ на ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.1

Перенесем ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{x'}{3 ({(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Этап 4.15.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Этап 4.15.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Этап 4.15.4

Добавим $2$ и $2$ .

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = - \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 6

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$ .

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$

Этап 6.2

Разделим каждый член $- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 6.2.2.2

Разделим $\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ на $1$ .

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{- 1}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = - 1$

Этап 6.3

Умножим обе части на $3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}) = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 6.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Упростим $\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 6.4.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 6.4.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x'}{{(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 6.4.1.1.3

Сократим общий множитель ${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x'}{{(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 6.4.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x' = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 6.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$x' = - 3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$

Этап 7

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - 3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$