Математический анализ Примеры

$\int_{\sqrt{\frac{π}{2}}}^{\sqrt{π}} 9 θ^{3} \cos (θ^{2}) d θ$

Этап 1

Поскольку $9$ — константа по отношению к $θ$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int_{\sqrt{\frac{π}{2}}}^{\sqrt{π}} θ^{3} \cos (θ^{2}) d θ$

Этап 2

Пусть $u = θ^{2}$ . Тогда $d u = 2 θ d θ$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = θ d θ$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = θ^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d θ}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $θ^{2}$ .

$\frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 θ$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $θ$ в $u = θ^{2}$ .

$u_{lower} = {\sqrt{\frac{π}{2}}}^{2}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем $\sqrt{\frac{π}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}})}^{2}$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}$

Этап 2.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}$

Этап 2.3.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}$

Этап 2.3.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}$

Этап 2.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}$

Этап 2.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}$

Этап 2.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

Этап 2.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

Этап 2.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Этап 2.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Этап 2.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}$

Этап 2.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Этап 2.3.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2})}^{2}$

Этап 2.3.5

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{{\sqrt{π \cdot 2}}^{2}}{2^{2}}$

Этап 2.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Перепишем ${\sqrt{π \cdot 2}}^{2}$ в виде $π \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{π \cdot 2}$ в виде ${(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{{({(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Этап 2.3.6.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Этап 2.3.6.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Этап 2.3.6.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1.4.1

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Этап 2.3.6.1.4.2

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{1}}{2^{2}}$

Этап 2.3.6.1.5

Упростим.

$u_{lower} = \frac{π \cdot 2}{2^{2}}$

Этап 2.3.6.2

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{2^{2}}$

Этап 2.3.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{4}$

Этап 2.3.8

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$u_{lower} = \frac{2 (π)}{4}$

Этап 2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $θ$ в $u = θ^{2}$ .

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

Этап 2.5

Перепишем ${\sqrt{π}}^{2}$ в виде $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{π}$ в виде $π^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.5.4.2

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = π^{1}$

Этап 2.5.5

Упростим.

$u_{upper} = π$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$9 \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u$ .

$9 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{u}{2} \cos (u) d u$

Этап 3.2

Объединим $\frac{u}{2}$ и $\cos (u)$ .

$9 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{u \cos (u)}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$9 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) d u)$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $9$ .

$\frac{9}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) d u$

Этап 6

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = u$ и $dv = \cos (u)$ .

$\frac{9}{2} (u \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π} - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (u) d u)$

Этап 7

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$\frac{9}{2} (u \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π} - (- \cos (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}))$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $u \sin (u)$ в $π$ и в $\frac{π}{2}$ .

$\frac{9}{2} ((π \sin (π)) - \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}))$

Этап 8.2

Найдем значение $- \cos (u)$ в $π$ и в $\frac{π}{2}$ .

$\frac{9}{2} ((π \sin (π)) - \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) - ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{2})))$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим $\sin (\frac{π}{2})$ и $\frac{π}{2}$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} - ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{2})))$

Этап 8.3.2

Чтобы записать $- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot \frac{2}{2})$

Этап 8.3.3

Объединим $- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} + \frac{- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2})$

Этап 8.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- \sin (\frac{π}{2}) π - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2})$

Этап 8.3.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- \sin (\frac{π}{2}) π - 2 (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))}{2})$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- 1 \cdot 1 π - 2 (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))}{2})$

Этап 9.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- 1 \cdot 1 π - 2 (- \cos (π) + 0)}{2})$

Этап 9.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- π - 2 (- \cos (π) + 0)}{2})$

Этап 9.4

Добавим $- \cos (π)$ и $0$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- π - 2 (- \cos (π))}{2})$

Этап 9.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

Этап 9.6

Чтобы записать $π \sin (π)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) \cdot \frac{2}{2} + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

Этап 9.7

Объединим $π \sin (π)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} (\frac{π \sin (π) \cdot 2}{2} + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

Этап 9.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9}{2} \cdot \frac{π \sin (π) \cdot 2 - π + 2 \cos (π)}{2}$

Этап 9.9

Перенесем $2$ влево от $π \sin (π)$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{2 \cdot (π \sin (π)) - π + 2 \cos (π)}{2}$

Этап 9.10

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π)}{2}$ .

$\frac{9 (2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π))}{2 \cdot 2}$

Этап 9.11

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{9 (2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π))}{4}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{9 (2 π \sin (0) - π + 2 \cos (π))}{4}$

Этап 10.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{9 (2 π \cdot 0 - π + 2 \cos (π))}{4}$

Этап 10.3

Умножим $2 π \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $0$ на $2$ .

$\frac{9 (0 π - π + 2 \cos (π))}{4}$

Этап 10.3.2

Умножим $0$ на $π$ .

$\frac{9 (0 - π + 2 \cos (π))}{4}$

Этап 10.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{9 (0 - π + 2 (- \cos (0)))}{4}$

Этап 10.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{9 (0 - π + 2 (- 1 \cdot 1))}{4}$

Этап 10.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{9 (0 - π + 2 \cdot - 1)}{4}$

Этап 10.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{9 (0 - π - 2)}{4}$

Этап 10.8

Вычтем $π$ из $0$ .

$\frac{9 (- π - 2)}{4}$

Этап 10.9

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 (- π) + 9 \cdot - 2}{4}$

Этап 10.10

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{- 9 π + 9 \cdot - 2}{4}$

Этап 10.11

Умножим $9$ на $- 2$ .

$\frac{- 9 π - 18}{4}$

Этап 10.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- 9 π$ .

$\frac{- (9 π) - 18}{4}$

Этап 10.13

Перепишем $- 18$ в виде $- 1 (18)$ .

$\frac{- (9 π) - 1 (18)}{4}$

Этап 10.14

Вынесем множитель $- 1$ из $- (9 π) - 1 (18)$ .

$\frac{- (9 π + 18)}{4}$

Этап 10.15

Перепишем $- (9 π + 18)$ в виде $- 1 (9 π + 18)$ .

$\frac{- 1 (9 π + 18)}{4}$

Этап 10.16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{9 π + 18}{4}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{9 π + 18}{4}$

Десятичная форма:

$- 11.56858347 \dots$