Математический анализ Примеры

$- x y^{3} + 5 y = 3 - x^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (- x y^{3} + 5 y) = \frac{d}{d x} (3 - x^{3})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- x y^{3} + 5 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x y^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y^{3}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$- (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$- (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.2.6

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$- (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.2.7

Умножим $y^{3}$ на $1$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 y$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 y'$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- (3 x y^{2} y') - y^{3} + 5 y'$

Этап 2.4.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 x y^{2} y' - y^{3} + 5 y'$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' + 5 y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $3 - x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 3.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0 - (3 x^{2})$

Этап 3.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$0 - 3 x^{2}$

Этап 3.3

Вычтем $3 x^{2}$ из $0$ .

$- 3 x^{2}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' + 5 y' = - 3 x^{2}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $y^{3}$ к обеим частям уравнения.

$- 3 y^{2} x y' + 5 y' = - 3 x^{2} + y^{3}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 3 y^{2} x y' + 5 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $- 3 y^{2} x y'$ .

$y' (- 3 y^{2} x) + 5 y' = - 3 x^{2} + y^{3}$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $5 y'$ .

$y' (- 3 y^{2} x) + y' \cdot 5 = - 3 x^{2} + y^{3}$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 3 y^{2} x) + y' \cdot 5$ .

$y' (- 3 y^{2} x + 5) = - 3 x^{2} + y^{3}$

Этап 5.3

Разделим каждый член $y' (- 3 y^{2} x + 5) = - 3 x^{2} + y^{3}$ на $- 3 y^{2} x + 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $y' (- 3 y^{2} x + 5) = - 3 x^{2} + y^{3}$ на $- 3 y^{2} x + 5$ .

$\frac{y' (- 3 y^{2} x + 5)}{- 3 y^{2} x + 5} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2} x + 5} + \frac{y^{3}}{- 3 y^{2} x + 5}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3 y^{2} x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- 3 y^{2} x + 5)}{- 3 y^{2} x + 5} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2} x + 5} + \frac{y^{3}}{- 3 y^{2} x + 5}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2} x + 5} + \frac{y^{3}}{- 3 y^{2} x + 5}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + y^{3}}{- 3 y^{2} x + 5}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) + y^{3}}{- 3 y^{2} x + 5}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $y^{3}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - 1 (- y^{3})}{- 3 y^{2} x + 5}$

Этап 5.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - 1 (- y^{3})$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - y^{3})}{- 3 y^{2} x + 5}$

Этап 5.3.3.5

Перепишем $- (3 x^{2} - y^{3})$ в виде $- 1 (3 x^{2} - y^{3})$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- 3 y^{2} x + 5}$

Этап 5.3.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 y^{2} x$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- (3 y^{2} x) + 5}$

Этап 5.3.3.7

Перепишем $5$ в виде $- 1 (- 5)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- (3 y^{2} x) - 1 (- 5)}$

Этап 5.3.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 y^{2} x) - 1 (- 5)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- (3 y^{2} x - 5)}$

Этап 5.3.3.9

Перепишем $- (3 y^{2} x - 5)$ в виде $- 1 (3 y^{2} x - 5)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- 1 (3 y^{2} x - 5)}$

Этап 5.3.3.10

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- 1 (3 y^{2} x - 5)}$

Этап 5.3.3.11

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{3 x^{2} - y^{3}}{3 y^{2} x - 5}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} - y^{3}}{3 y^{2} x - 5}$