Математический анализ Примеры

$f (x) = x \sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{x}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x \sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Этап 3.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Этап 3.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Этап 3.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Этап 3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Этап 3.2.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - \int \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Этап 7

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

Этап 8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Этап 8.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 8.3

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 8.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 8.4.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 8.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 8 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x \sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 8 x^{\frac{1}{2}} + C$