Математический анализ Примеры

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} - \frac{5}{4}$ и $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{5}{4}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{5}{4}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{2} - \frac{5}{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}]$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}])$

Этап 3.3

Поскольку $- \frac{5}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{5}{4}$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x + 0)$

Этап 3.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} e^{x} - \frac{5}{4} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Этап 4.2

Изменим порядок членов.

$e^{x} x^{2} - \frac{5}{4} e^{x} + 2 e^{x} x$

Этап 4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Объединим $e^{x}$ и $\frac{5}{4}$ .

$e^{x} x^{2} - \frac{e^{x} \cdot 5}{4} + 2 e^{x} x$

Этап 4.3.2

Перенесем $5$ влево от $e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Этап 4.4

Вычтем $\frac{5 e^{x}}{4}$ из $e^{x} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Изменим порядок $e^{x}$ и $x^{2}$ .

$x^{2} e^{x} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Этап 4.4.2

Чтобы записать $x^{2} e^{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} e^{x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Этап 4.4.3

Объединим $x^{2} e^{x}$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2} e^{x} \cdot 4}{4} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Этап 4.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} e^{x} \cdot 4 - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перенесем $4$ влево от $x^{2} e^{x}$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} e^{x}) - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Этап 4.5.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $4 x^{2} e^{x} - 5 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $4 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2}) - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Этап 4.5.2.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- 5 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2}) + e^{x} \cdot - 5}{4} + 2 e^{x} x$

Этап 4.5.2.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (4 x^{2}) + e^{x} \cdot - 5$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + 2 e^{x} x$

Этап 4.6

Чтобы записать $2 e^{x} x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + 2 e^{x} x \cdot \frac{4}{4}$

Этап 4.7

Объединим $2 e^{x} x$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + \frac{2 e^{x} x \cdot 4}{4}$

Этап 4.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5) + 2 e^{x} x \cdot 4}{4}$

Этап 4.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (4 x^{2} - 5) + 2 e^{x} x \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $2 e^{x} x \cdot 4$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5) + e^{x} (2 x \cdot 4)}{4}$

Этап 4.9.1.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (4 x^{2} - 5) + e^{x} (2 x \cdot 4)$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5 + 2 x \cdot 4)}{4}$

Этап 4.9.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5 + 8 x)}{4}$

Этап 4.9.3

Изменим порядок членов.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + 8 x - 5)}{4}$

Этап 4.9.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ , а сумма — $b = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.4.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + 8 (x) - 5)}{4}$

Этап 4.9.4.1.2

Запишем $8$ как $- 2$ плюс $10$

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + (- 2 + 10) x - 5)}{4}$

Этап 4.9.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 2 x + 10 x - 5)}{4}$

Этап 4.9.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{e^{x} ((4 x^{2} - 2 x) + 10 x - 5)}{4}$

Этап 4.9.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{e^{x} (2 x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1))}{4}$

Этап 4.9.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$\frac{e^{x} ((2 x - 1) (2 x + 5))}{4}$

$\frac{e^{x} (2 x - 1) (2 x + 5)}{4}$