Математический анализ Примеры

$S (t) = \frac{1}{3} t^{3} - 3.5 t^{2} + 10 t$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{3} t^{3} - 3.5 t^{2} + 10 t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{1}{3} t^{3}$ по $t$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Этап 1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} t^{2} + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Этап 1.2.4

Объединим $\frac{3}{3}$ и $t^{2}$ .

$\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Этап 1.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Этап 1.2.5.2

Разделим $t^{2}$ на $1$ .

$t^{2} + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 3.5$ является константой относительно $t$ , производная $- 3.5 t^{2}$ по $t$ равна $- 3.5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$t^{2} - 3.5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$t^{2} - 3.5 (2 t) + \frac{d}{d t} [10 t]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 3.5$ .

$t^{2} - 7 t + \frac{d}{d t} [10 t]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d t} [10 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $10$ является константой относительно $t$ , производная $10 t$ по $t$ равна $10 \frac{d}{d t} [t]$ .

$t^{2} - 7 t + 10 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$t^{2} - 7 t + 10 \cdot 1$

Этап 1.4.3

Умножим $10$ на $1$ .

$f' (t) = t^{2} - 7 t + 10$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $t^{2} - 7 t + 10$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [10]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [10]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [10]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 7 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $t$ , производная $- 7 t$ по $t$ равна $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 t - 7 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [10]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 t - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [10]$

Этап 2.2.3

Умножим $- 7$ на $1$ .

$2 t - 7 + \frac{d}{d t} [10]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $10$ является константой относительно $t$ , производная $10$ относительно $t$ равна $0$ .

$2 t - 7 + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $2 t - 7$ и $0$ .

$f'' (t) = 2 t - 7$

Этап 3

Вторая производная $S (t)$ по $t$ равна $2 t - 7$ .

$2 t - 7$