Математический анализ Примеры

$\frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 1 + e^{2 x}$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $1 + e^{2 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{2 x + x} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 6

Добавим $2 x$ и $x$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{3 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 7

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{3 x} (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - 2 e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - 2 e^{3 x} \cdot 1}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 10

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - 2 e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 e^{x} + e^{2 x} e^{x} - 2 e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 11.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\frac{e^{x} + e^{2 x} e^{x} - 2 e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 11.2.1.2

Умножим $e^{2 x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{e^{x} + e^{2 x + x} - 2 e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 11.2.1.2.2

Добавим $2 x$ и $x$ .

$\frac{e^{x} + e^{3 x} - 2 e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 11.2.2

Вычтем $2 e^{3 x}$ из $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{x} - e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$