Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $\frac{2}{15}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{15} x^{6}$ по $x$ равна $\frac{2}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{2}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{2}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Этап 1.1.2.3

Объединим $6$ и $\frac{2}{15}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Этап 1.1.2.4

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Этап 1.1.2.5

Объединим $\frac{12}{15}$ и $x^{5}$ .

$\frac{12 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Этап 1.1.2.6

Сократим общий множитель $12$ и $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $12 x^{5}$ .

$\frac{3 (4 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Этап 1.1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$\frac{3 (4 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Этап 1.1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (4 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Этап 1.1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{5}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x^{4}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} - 8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} - 8 (4 x^{3})$

Этап 1.1.4.3

Умножим $4$ на $- 8$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} - 32 x^{3}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $\frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} - 32 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $\frac{4}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x^{5}}{5}$ по $x$ равна $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{4}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Этап 1.2.2.3

Объединим $5$ и $\frac{4}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Этап 1.2.2.4

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{20}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Этап 1.2.2.5

Объединим $\frac{20}{5}$ и $x^{4}$ .

$\frac{20 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Этап 1.2.2.6

Сократим общий множитель $20$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.6.1

Вынесем множитель $5$ из $20 x^{4}$ .

$\frac{5 (4 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Этап 1.2.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.6.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Этап 1.2.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Этап 1.2.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Этап 1.2.2.6.2.4

Разделим $4 x^{4}$ на $1$ .

$4 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{4}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{4} - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Этап 1.2.3.3

Умножим $4$ на $- 5$ .

$4 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Этап 1.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Поскольку $- 32$ является константой относительно $x$ , производная $- 32 x^{3}$ по $x$ равна $- 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{4} - 20 x^{3} - 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x^{4} - 20 x^{3} - 32 (3 x^{2})$

Этап 1.2.4.3

Умножим $3$ на $- 32$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2}$ .

$4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2} = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $4 x^{2}$ из $4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $4 x^{2}$ из $4 x^{4}$ .

$4 x^{2} (x^{2}) - 20 x^{3} - 96 x^{2} = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $4 x^{2}$ из $- 20 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x^{2}) + 4 x^{2} (- 5 x) - 96 x^{2} = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $4 x^{2}$ из $- 96 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x^{2}) + 4 x^{2} (- 5 x) + 4 x^{2} (- 24) = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $4 x^{2}$ из $4 x^{2} (x^{2}) + 4 x^{2} (- 5 x)$ .

$4 x^{2} (x^{2} - 5 x) + 4 x^{2} (- 24) = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $4 x^{2}$ из $4 x^{2} (x^{2} - 5 x) + 4 x^{2} (- 24)$ .

$4 x^{2} (x^{2} - 5 x - 24) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим $x^{2} - 5 x - 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 24$ , а сумма — $- 5$ .

$- 8, 3$

Этап 2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$4 x^{2} ((x - 8) (x + 3)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 x^{2} (x - 8) (x + 3) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 8 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 2.6

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 2.6.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x^{2} (x - 8) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 0, 8, - 3$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ в $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{2}{15} \cdot {(0)}^{6} - {(0)}^{5} - 8 {(0)}^{4}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{2}{15} \cdot 0 - {(0)}^{5} - 8 {(0)}^{4}$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $\frac{2}{15}$ на $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{5} - 8 {(0)}^{4}$

Этап 3.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 0 - 8 {(0)}^{4}$

Этап 3.1.2.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 8 {(0)}^{4}$

Этап 3.1.2.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 8 \cdot 0$

Этап 3.1.2.1.6

Умножим $- 8$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Этап 3.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 3.1.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3.2

Подставляя $0$ в $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 3.3

Подставим $8$ в $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8$ .

$f (8) = \frac{2}{15} \cdot {(8)}^{6} - {(8)}^{5} - 8 {(8)}^{4}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Возведем $8$ в степень $6$ .

$f (8) = \frac{2}{15} \cdot 262144 - {(8)}^{5} - 8 {(8)}^{4}$

Этап 3.3.2.1.2

Умножим $\frac{2}{15} \cdot 262144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Объединим $\frac{2}{15}$ и $262144$ .

$f (8) = \frac{2 \cdot 262144}{15} - {(8)}^{5} - 8 {(8)}^{4}$

Этап 3.3.2.1.2.2

Умножим $2$ на $262144$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} - {(8)}^{5} - 8 {(8)}^{4}$

Этап 3.3.2.1.3

Возведем $8$ в степень $5$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} - 1 \cdot 32768 - 8 {(8)}^{4}$

Этап 3.3.2.1.4

Умножим $- 1$ на $32768$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} - 32768 - 8 {(8)}^{4}$

Этап 3.3.2.1.5

Возведем $8$ в степень $4$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} - 32768 - 8 \cdot 4096$

Этап 3.3.2.1.6

Умножим $- 8$ на $4096$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} - 32768 - 32768$

Этап 3.3.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Запишем $- 32768$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768}{1} - 32768$

Этап 3.3.2.2.2

Умножим $\frac{- 32768}{1}$ на $\frac{15}{15}$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768}{1} \cdot \frac{15}{15} - 32768$

Этап 3.3.2.2.3

Умножим $\frac{- 32768}{1}$ на $\frac{15}{15}$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} - 32768$

Этап 3.3.2.2.4

Запишем $- 32768$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} + \frac{- 32768}{1}$

Этап 3.3.2.2.5

Умножим $\frac{- 32768}{1}$ на $\frac{15}{15}$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} + \frac{- 32768}{1} \cdot \frac{15}{15}$

Этап 3.3.2.2.6

Умножим $\frac{- 32768}{1}$ на $\frac{15}{15}$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15}$

Этап 3.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (8) = \frac{524288 - 32768 \cdot 15 - 32768 \cdot 15}{15}$

Этап 3.3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Умножим $- 32768$ на $15$ .

$f (8) = \frac{524288 - 491520 - 32768 \cdot 15}{15}$

Этап 3.3.2.4.2

Умножим $- 32768$ на $15$ .

$f (8) = \frac{524288 - 491520 - 491520}{15}$

Этап 3.3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Вычтем $491520$ из $524288$ .

$f (8) = \frac{32768 - 491520}{15}$

Этап 3.3.2.5.2

Вычтем $491520$ из $32768$ .

$f (8) = \frac{- 458752}{15}$

Этап 3.3.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (8) = - \frac{458752}{15}$

Этап 3.3.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{458752}{15}$ .

$- \frac{458752}{15}$

Этап 3.4

Подставляя $8$ в $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ , найдем точку $(8, - \frac{458752}{15})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(8, - \frac{458752}{15})$

Этап 3.5

Подставим $- 3$ в $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{2}{15} \cdot {(- 3)}^{6} - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Этап 3.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $6$ .

$f (- 3) = \frac{2}{15} \cdot 729 - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Этап 3.5.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$f (- 3) = \frac{2}{3 (5)} \cdot 729 - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Этап 3.5.2.1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $729$ .

$f (- 3) = \frac{2}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 243) - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Этап 3.5.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$f (- 3) = \frac{2}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 243) - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Этап 3.5.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$f (- 3) = \frac{2}{5} \cdot 243 - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Этап 3.5.2.1.3

Объединим $\frac{2}{5}$ и $243$ .

$f (- 3) = \frac{2 \cdot 243}{5} - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Этап 3.5.2.1.4

Умножим $2$ на $243$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Этап 3.5.2.1.5

Возведем $- 3$ в степень $5$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + 243 - 8 {(- 3)}^{4}$

Этап 3.5.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + 243 - 8 {(- 3)}^{4}$

Этап 3.5.2.1.7

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + 243 - 8 \cdot 81$

Этап 3.5.2.1.8

Умножим $- 8$ на $81$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + 243 - 648$

Этап 3.5.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Запишем $243$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243}{1} - 648$

Этап 3.5.2.2.2

Умножим $\frac{243}{1}$ на $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243}{1} \cdot \frac{5}{5} - 648$

Этап 3.5.2.2.3

Умножим $\frac{243}{1}$ на $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} - 648$

Этап 3.5.2.2.4

Запишем $- 648$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} + \frac{- 648}{1}$

Этап 3.5.2.2.5

Умножим $\frac{- 648}{1}$ на $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} + \frac{- 648}{1} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 3.5.2.2.6

Умножим $\frac{- 648}{1}$ на $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} + \frac{- 648 \cdot 5}{5}$

Этап 3.5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 3) = \frac{486 + 243 \cdot 5 - 648 \cdot 5}{5}$

Этап 3.5.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.1

Умножим $243$ на $5$ .

$f (- 3) = \frac{486 + 1215 - 648 \cdot 5}{5}$

Этап 3.5.2.4.2

Умножим $- 648$ на $5$ .

$f (- 3) = \frac{486 + 1215 - 3240}{5}$

Этап 3.5.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.5.1

Добавим $486$ и $1215$ .

$f (- 3) = \frac{1701 - 3240}{5}$

Этап 3.5.2.5.2

Вычтем $3240$ из $1701$ .

$f (- 3) = \frac{- 1539}{5}$

Этап 3.5.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 3) = - \frac{1539}{5}$

Этап 3.5.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{1539}{5}$ .

$- \frac{1539}{5}$

Этап 3.6

Подставляя $- 3$ в $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ , найдем точку $(- 3, - \frac{1539}{5})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 3, - \frac{1539}{5})$

Этап 3.7

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 0), (8, - \frac{458752}{15}), (- 3, - \frac{1539}{5})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 3)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = 4 {(- 3.1)}^{4} - 20 {(- 3.1)}^{3} - 96 {(- 3.1)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 3.1$ в степень $4$ .

$f'' (- 3.1) = 4 \cdot 92.3521 - 20 {(- 3.1)}^{3} - 96 {(- 3.1)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $4$ на $92.3521$ .

$f'' (- 3.1) = 369.4084 - 20 {(- 3.1)}^{3} - 96 {(- 3.1)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Возведем $- 3.1$ в степень $3$ .

$f'' (- 3.1) = 369.4084 - 20 \cdot - 29.791 - 96 {(- 3.1)}^{2}$

Этап 5.2.1.4

Умножим $- 20$ на $- 29.791$ .

$f'' (- 3.1) = 369.4084 + 595.82 - 96 {(- 3.1)}^{2}$

Этап 5.2.1.5

Возведем $- 3.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 3.1) = 369.4084 + 595.82 - 96 \cdot 9.61$

Этап 5.2.1.6

Умножим $- 96$ на $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = 369.4084 + 595.82 - 922.56$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $369.4084$ и $595.82$ .

$f'' (- 3.1) = 965.2284 - 922.56$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $922.56$ из $965.2284$ .

$f'' (- 3.1) = 42.6684$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $42.6684$ .

$42.6684$

Этап 5.3

При $- 3.1$ вторая производная имеет вид $42.6684$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - 3)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 3)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 3, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 {(- \frac{3}{2})}^{4} - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}})) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (1 (\frac{3^{4}}{2^{4}})) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ на $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{2^{4}}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{16}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{4 (4)}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{4 \cdot 4}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.9

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 (- \frac{27}{2^{3}}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.10

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 (- \frac{27}{8}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.11

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.11.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{27}{8}$ в числитель.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 (\frac{- 27}{8}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.11.2

Вынесем множитель $4$ из $- 20$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 (- 5) (\frac{- 27}{8}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.11.3

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 \cdot (- 5 \frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.11.4

Сократим общий множитель.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 \cdot (- 5 \frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.11.5

Перепишем это выражение.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 5 (\frac{- 27}{2}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.12

Объединим $- 5$ и $\frac{- 27}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{- 5 \cdot - 27}{2} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.13

Умножим $- 5$ на $- 27$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.14

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.14.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})$

Этап 6.2.1.14.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Этап 6.2.1.15

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Этап 6.2.1.16

Умножим $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Этап 6.2.1.17

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 \frac{9}{2^{2}}$

Этап 6.2.1.18

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 (\frac{9}{4})$

Этап 6.2.1.19

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.19.1

Вынесем множитель $4$ из $- 96$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} + 4 (- 24) (\frac{9}{4})$

Этап 6.2.1.19.2

Сократим общий множитель.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} + 4 \cdot (- 24 (\frac{9}{4}))$

Этап 6.2.1.19.3

Перепишем это выражение.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 24 \cdot 9$

Этап 6.2.1.20

Умножим $- 24$ на $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 216$

Этап 6.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Умножим $\frac{135}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} \cdot \frac{2}{2} - 216$

Этап 6.2.2.2

Умножим $\frac{135}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 216$

Этап 6.2.2.3

Запишем $- 216$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 216}{1}$

Этап 6.2.2.4

Умножим $\frac{- 216}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 216}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 6.2.2.5

Умножим $\frac{- 216}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 216 \cdot 4}{4}$

Этап 6.2.2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{4} + \frac{- 216 \cdot 4}{4}$

Этап 6.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 + 135 \cdot 2 - 216 \cdot 4}{4}$

Этап 6.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Умножим $135$ на $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 + 270 - 216 \cdot 4}{4}$

Этап 6.2.4.2

Умножим $- 216$ на $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 + 270 - 864}{4}$

Этап 6.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Добавим $81$ и $270$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{351 - 864}{4}$

Этап 6.2.5.2

Вычтем $864$ из $351$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 513}{4}$

Этап 6.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{513}{4}$

Этап 6.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{513}{4}$ .

$- \frac{513}{4}$

Этап 6.3

При $- \frac{3}{2}$ вторая производная имеет вид $- 128.25$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- 3, 0)$ .

Убывание на $(- 3, 0)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, 8)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f'' (4) = 4 {(4)}^{4} - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $4$ на ${(4)}^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Умножим $4$ на ${(4)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1.1

Возведем $4$ в степень $1$ .

$f'' (4) = 4 {(4)}^{4} - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

Этап 7.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (4) = 4^{1 + 4} - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

Этап 7.2.1.1.2

Добавим $1$ и $4$ .

$f'' (4) = 4^{5} - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

Этап 7.2.1.2

Возведем $4$ в степень $5$ .

$f'' (4) = 1024 - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

Этап 7.2.1.3

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f'' (4) = 1024 - 20 \cdot 64 - 96 {(4)}^{2}$

Этап 7.2.1.4

Умножим $- 20$ на $64$ .

$f'' (4) = 1024 - 1280 - 96 {(4)}^{2}$

Этап 7.2.1.5

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f'' (4) = 1024 - 1280 - 96 \cdot 16$

Этап 7.2.1.6

Умножим $- 96$ на $16$ .

$f'' (4) = 1024 - 1280 - 1536$

Этап 7.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $1280$ из $1024$ .

$f'' (4) = - 256 - 1536$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $1536$ из $- 256$ .

$f'' (4) = - 1792$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 1792$ .

$- 1792$

Этап 7.3

При $4$ вторая производная имеет вид $- 1792$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(0, 8)$ .

Убывание на $(0, 8)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(8, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8.1$ .

$f'' (8.1) = 4 {(8.1)}^{4} - 20 {(8.1)}^{3} - 96 {(8.1)}^{2}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $8.1$ в степень $4$ .

$f'' (8.1) = 4 \cdot 4304.6721 - 20 {(8.1)}^{3} - 96 {(8.1)}^{2}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $4$ на $4304.6721$ .

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 20 {(8.1)}^{3} - 96 {(8.1)}^{2}$

Этап 8.2.1.3

Возведем $8.1$ в степень $3$ .

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 20 \cdot 531.441 - 96 {(8.1)}^{2}$

Этап 8.2.1.4

Умножим $- 20$ на $531.441$ .

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 10628.82 - 96 {(8.1)}^{2}$

Этап 8.2.1.5

Возведем $8.1$ в степень $2$ .

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 10628.82 - 96 \cdot 65.61$

Этап 8.2.1.6

Умножим $- 96$ на $65.61$ .

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 10628.82 - 6298.56$

Этап 8.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вычтем $10628.82$ из $17218.6884$ .

$f'' (8.1) = 6589.8684 - 6298.56$

Этап 8.2.2.2

Вычтем $6298.56$ из $6589.8684$ .

$f'' (8.1) = 291.3084$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $291.3084$ .

$291.3084$

Этап 8.3

При $8.1$ вторая производная имеет вид $291.3084$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(8, \infty)$ .

Возрастание в области $(8, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 9

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- 3, - \frac{1539}{5}), (8, - \frac{458752}{15})$ .

$(- 3, - \frac{1539}{5}), (8, - \frac{458752}{15})$

Этап 10