Математический анализ Примеры

$4 x \cdot e^{2 x}$

Этап 1

Запишем $4 x \cdot e^{2 x}$ в виде функции.

$f (x) = 4 x \cdot e^{2 x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 4 x \cdot e^{2 x} d x$

Этап 4

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int x \cdot e^{2 x} d x$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{2 x}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$4 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Этап 6.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Этап 6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Этап 8

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 8.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 8.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Этап 9

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Этап 11.2

Умножим $2$ на $2$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Этап 12

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Этап 13

Перепишем $4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ в виде $4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Этап 14

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$4 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Этап 15.1.2

Объединим $\frac{x}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Этап 15.1.3

Объединим $e^{2 x}$ и $\frac{1}{4}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Этап 15.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Этап 15.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Этап 15.3.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Этап 15.3.3

Перепишем это выражение.

$2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Этап 15.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{2 x}}{4}$ в числитель.

$2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Этап 15.4.2

Сократим общий множитель.

$2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Этап 15.4.3

Перепишем это выражение.

$2 (x e^{2 x}) - e^{2 x} + C$

$2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$

Этап 16

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 4 x \cdot e^{2 x}$ .

$F (x) =$ $2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$