Математический анализ Примеры

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 42 x^{2}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $- \frac{1}{2} x^{4} + 42 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{2} x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Этап 1.1.2.4

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Этап 1.1.2.5

Объединим $\frac{- 4}{2}$ и $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Этап 1.1.2.6

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Этап 1.1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Этап 1.1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Этап 1.1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Этап 1.1.2.6.2.4

Разделим $- 2 x^{3}$ на $1$ .

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [42 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $42$ является константой относительно $x$ , производная $42 x^{2}$ по $x$ равна $42 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{3} + 42 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 x^{3} + 42 (2 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $42$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 84 x$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $- 2 x^{3} + 84 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{3}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [84 x]$

Этап 1.2.2.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [84 x]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [84 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $84$ является константой относительно $x$ , производная $84 x$ по $x$ равна $84 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{2} + 84 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 6 x^{2} + 84 \cdot 1$

Этап 1.2.3.3

Умножим $84$ на $1$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 84$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 6 x^{2} + 84$ .

$- 6 x^{2} + 84$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 6 x^{2} + 84 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- 6 x^{2} + 84 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $84$ из обеих частей уравнения.

$- 6 x^{2} = - 84$

Этап 2.3

Разделим каждый член $- 6 x^{2} = - 84$ на $- 6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $- 6 x^{2} = - 84$ на $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 84}{- 6}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 84}{- 6}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 84}{- 6}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $- 84$ на $- 6$ .

$x^{2} = 14$

Этап 2.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{14}$

Этап 2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{14}$

Этап 2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{14}$

Этап 2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{14}, - \sqrt{14}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $\sqrt{14}$ в $f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 42 x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\sqrt{14}$ .

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot {(\sqrt{14})}^{4} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{14}}^{4}$ в виде $14^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{14}$ в виде $14^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot {(14^{\frac{1}{2}})}^{4} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{4}{2}} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2}{1}} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{2} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.2

Возведем $14$ в степень $2$ .

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 196 + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$f (\sqrt{14}) = \frac{- 1}{2} \cdot 196 + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $196$ .

$f (\sqrt{14}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (98)) + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.3.3

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt{14}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 98) + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.3.4

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt{14}) = - 1 \cdot 98 + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.4

Умножим $- 1$ на $98$ .

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.5

Перепишем ${\sqrt{14}}^{2}$ в виде $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{14}$ в виде $14^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 42 {(14^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.1.2.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.1.2.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.1.2.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14$

Этап 3.1.2.1.5.5

Найдем экспоненту.

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14$

Этап 3.1.2.1.6

Умножим $42$ на $14$ .

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 588$

Этап 3.1.2.2

Добавим $- 98$ и $588$ .

$f (\sqrt{14}) = 490$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $490$ .

$490$

Этап 3.2

Подставляя $\sqrt{14}$ в $f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 42 x^{2}$ , найдем точку $(\sqrt{14}, 490)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\sqrt{14}, 490)$

Этап 3.3

Подставим $- \sqrt{14}$ в $f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 42 x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \sqrt{14}$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot {(- \sqrt{14})}^{4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{14}$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot ({(- 1)}^{4} {\sqrt{14}}^{4}) + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{4}$ .

$f (- \sqrt{14}) = {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 (\frac{1}{2})) \cdot {\sqrt{14}}^{4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.2.2

Умножим ${(- 1)}^{4}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- \sqrt{14}) = {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) (\frac{1}{2})) \cdot {\sqrt{14}}^{4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \sqrt{14}) = {(- 1)}^{4 + 1} (\frac{1}{2}) \cdot {\sqrt{14}}^{4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.2.3

Добавим $4$ и $1$ .

$f (- \sqrt{14}) = {(- 1)}^{5} (\frac{1}{2}) \cdot {\sqrt{14}}^{4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot {\sqrt{14}}^{4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.4

Перепишем ${\sqrt{14}}^{4}$ в виде $14^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{14}$ в виде $14^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot {(14^{\frac{1}{2}})}^{4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{4}{2}} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2}{1}} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{2} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.5

Возведем $14$ в степень $2$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 196 + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$f (- \sqrt{14}) = \frac{- 1}{2} \cdot 196 + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.6.2

Вынесем множитель $2$ из $196$ .

$f (- \sqrt{14}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (98)) + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.6.3

Сократим общий множитель.

$f (- \sqrt{14}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 98) + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.6.4

Перепишем это выражение.

$f (- \sqrt{14}) = - 1 \cdot 98 + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.7

Умножим $- 1$ на $98$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.8

Применим правило умножения к $- \sqrt{14}$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{14}}^{2})$

Этап 3.3.2.1.9

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 (1 {\sqrt{14}}^{2})$

Этап 3.3.2.1.10

Умножим ${\sqrt{14}}^{2}$ на $1$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 {\sqrt{14}}^{2}$

Этап 3.3.2.1.11

Перепишем ${\sqrt{14}}^{2}$ в виде $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.11.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{14}$ в виде $14^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 {(14^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.11.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.11.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.2.1.11.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.11.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.2.1.11.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14$

Этап 3.3.2.1.11.5

Найдем экспоненту.

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14$

Этап 3.3.2.1.12

Умножим $42$ на $14$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 588$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 98$ и $588$ .

$f (- \sqrt{14}) = 490$

Этап 3.3.2.3

Окончательный ответ: $490$ .

$490$

Этап 3.4

Подставляя $- \sqrt{14}$ в $f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 42 x^{2}$ , найдем точку $(- \sqrt{14}, 490)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- \sqrt{14}, 490)$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(\sqrt{14}, 490), (- \sqrt{14}, 490)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - \sqrt{14}) \cup (- \sqrt{14}, \sqrt{14}) \cup (\sqrt{14}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \sqrt{14})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3.84165738$ .

$f'' (- 3.84165738) = - 6 {(- 3.84165738)}^{2} + 84$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 3.84165738$ в степень $2$ .

$f'' (- 3.84165738) = - 6 \cdot 14.75833147 + 84$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 6$ на $14.75833147$ .

$f'' (- 3.84165738) = - 88.54998886 + 84$

Этап 5.2.2

Добавим $- 88.54998886$ и $84$ .

$f'' (- 3.84165738) = - 4.54998886$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 4.54998886$ .

$- 4.54998886$

Этап 5.3

При $- 3.84165738$ вторая производная имеет вид $- 4.54998886$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - \sqrt{14})$ .

Убывание на $(- \infty, - \sqrt{14})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \sqrt{14}, \sqrt{14})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = - 6 {(0)}^{2} + 84$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = - 6 \cdot 0 + 84$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 6$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 + 84$

Этап 6.2.2

Добавим $0$ и $84$ .

$f'' (0) = 84$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $84$ .

$84$

Этап 6.3

При $0$ вторая производная имеет вид $84$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \sqrt{14}, \sqrt{14})$ .

Возрастание в области $(- \sqrt{14}, \sqrt{14})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\sqrt{14}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.84165738$ .

$f'' (3.84165738) = - 6 {(3.84165738)}^{2} + 84$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $3.84165738$ в степень $2$ .

$f'' (3.84165738) = - 6 \cdot 14.75833147 + 84$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 6$ на $14.75833147$ .

$f'' (3.84165738) = - 88.54998886 + 84$

Этап 7.2.2

Добавим $- 88.54998886$ и $84$ .

$f'' (3.84165738) = - 4.54998886$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 4.54998886$ .

$- 4.54998886$

Этап 7.3

При $3.84165738$ вторая производная имеет вид $- 4.54998886$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(\sqrt{14}, \infty)$ .

Убывание на $(\sqrt{14}, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- \sqrt{14}, 490), (\sqrt{14}, 490)$ .

$(- \sqrt{14}, 490), (\sqrt{14}, 490)$

Этап 9