Математический анализ Примеры

$f (x) = - \frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{4} - 5 x^{3} + 9$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- \frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{4} - 5 x^{3} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- \frac{1}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{5} x^{5}$ по $x$ равна $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- \frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 5 (\frac{1}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.4

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{- 5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.5

Объединим $\frac{- 5}{5}$ и $x^{4}$ .

$\frac{- 5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.6

Сократим общий множитель $- 5$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x^{4}$ .

$\frac{5 (- x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 (- x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.6.2.4

Разделим $- x^{4}$ на $1$ .

$- x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{4}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- x^{4} - 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.3.3

Умножим $4$ на $- 2$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{3}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.4.3

Умножим $3$ на $- 5$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2} + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$ и $0$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x^{3}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $- 8$ .

$f'' (x) = - 4 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 15$ является константой относительно $x$ , производная $- 15 x^{2}$ по $x$ равна $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 4 x^{3} - 24 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} x^{2}$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 x^{3} - 24 x^{2} - 15 (2 x)$

Этап 2.4.3

Умножим $2$ на $- 15$ .

$f'' (x) = - 4 x^{3} - 24 x^{2} - 30 x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{5} x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9)$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$f' (x) = - \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} x^{5} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9)$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$f' (x) = - \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9)$

Этап 4.1.2.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$f' (x) = - 5 (\frac{1}{5}) \cdot x^{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9)$

Этап 4.1.2.4

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{5}$ .

$f' (x) = \frac{- 5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9)$

Этап 4.1.2.5

Объединим $\frac{- 5}{5}$ и $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{- 5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9)$

Этап 4.1.2.6

Сократим общий множитель $- 5$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{5 (- x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9)$

Этап 4.1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$f' (x) = \frac{5 (- x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9)$

Этап 4.1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9)$

Этап 4.1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{- x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9)$

Этап 4.1.2.6.2.4

Разделим $- x^{4}$ на $1$ .

$f' (x) = - x^{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9)$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{4}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = - x^{4} - 2 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9)$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = - x^{4} - 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9)$

Этап 4.1.3.3

Умножим $4$ на $- 2$ .

$f' (x) = - x^{4} - 8 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9)$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{3}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - x^{4} - 8 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (9)$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = - x^{4} - 8 x^{3} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Этап 4.1.4.3

Умножим $3$ на $- 5$ .

$f' (x) = - x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} (9)$

Этап 4.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = - x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2} + 0$

Этап 4.1.5.2

Добавим $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = - x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2} = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $- x^{2}$ из $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $- x^{2}$ из $- x^{4}$ .

$- x^{2} x^{2} - 8 x^{3} - 15 x^{2} = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $- x^{2}$ из $- 8 x^{3}$ .

$- x^{2} x^{2} - x^{2} (8 x) - 15 x^{2} = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $- x^{2}$ из $- 15 x^{2}$ .

$- x^{2} x^{2} - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot 15 = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $- x^{2}$ из $- x^{2} (x^{2}) - x^{2} (8 x)$ .

$- x^{2} (x^{2} + 8 x) - x^{2} \cdot 15 = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $- x^{2}$ из $- x^{2} (x^{2} + 8 x) - x^{2} (15)$ .

$- x^{2} (x^{2} + 8 x + 15) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разложим $x^{2} + 8 x + 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $15$ , а сумма — $8$ .

$3, 5$

Этап 5.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- x^{2} ((x + 3) (x + 5)) = 0$

Этап 5.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- x^{2} (x + 3) (x + 5) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 5.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 5.5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 5.6

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 5.6.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- x^{2} (x + 3) (x + 5) = 0$ верно.

$x = 0, - 3, - 5$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, - 3, - 5$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 4 {(0)}^{3} - 24 {(0)}^{2} - 30 \cdot 0$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 4 \cdot 0 - 24 {(0)}^{2} - 30 \cdot 0$

Этап 9.1.2

Умножим $- 4$ на $0$ .

$0 - 24 {(0)}^{2} - 30 \cdot 0$

Этап 9.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 24 \cdot 0 - 30 \cdot 0$

Этап 9.1.4

Умножим $- 24$ на $0$ .

$0 + 0 - 30 \cdot 0$

Этап 9.1.5

Умножим $- 30$ на $0$ .

$0 + 0 + 0$

Этап 9.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 8$ , из интервала $(- \infty, - 5)$ в первую производную $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 8$ .

$f' (- 8) = - {(- 8)}^{4} - 8 {(- 8)}^{3} - 15 {(- 8)}^{2}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведем $- 8$ в степень $4$ .

$f' (- 8) = - 1 \cdot 4096 - 8 {(- 8)}^{3} - 15 {(- 8)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4096$ .

$f' (- 8) = - 4096 - 8 {(- 8)}^{3} - 15 {(- 8)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.3

Умножим $- 8$ на ${(- 8)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.3.1

Умножим $- 8$ на ${(- 8)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.3.1.1

Возведем $- 8$ в степень $1$ .

$f' (- 8) = - 4096 + (- 8) {(- 8)}^{3} - 15 {(- 8)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (- 8) = - 4096 + {(- 8)}^{1 + 3} - 15 {(- 8)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.3.2

Добавим $1$ и $3$ .

$f' (- 8) = - 4096 + {(- 8)}^{4} - 15 {(- 8)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.4

Возведем $- 8$ в степень $4$ .

$f' (- 8) = - 4096 + 4096 - 15 {(- 8)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.5

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$f' (- 8) = - 4096 + 4096 - 15 \cdot 64$

Этап 10.2.2.1.6

Умножим $- 15$ на $64$ .

$f' (- 8) = - 4096 + 4096 - 960$

Этап 10.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Добавим $- 4096$ и $4096$ .

$f' (- 8) = 0 - 960$

Этап 10.2.2.2.2

Вычтем $960$ из $0$ .

$f' (- 8) = - 960$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $- 960$ .

$- 960$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $- 4$ , из интервала $(- 5, - 3)$ в первую производную $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = - {(- 4)}^{4} - 8 {(- 4)}^{3} - 15 {(- 4)}^{2}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $4$ .

$f' (- 4) = - 1 \cdot 256 - 8 {(- 4)}^{3} - 15 {(- 4)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.2

Умножим $- 1$ на $256$ .

$f' (- 4) = - 256 - 8 {(- 4)}^{3} - 15 {(- 4)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.3

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$f' (- 4) = - 256 - 8 \cdot - 64 - 15 {(- 4)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.4

Умножим $- 8$ на $- 64$ .

$f' (- 4) = - 256 + 512 - 15 {(- 4)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.5

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f' (- 4) = - 256 + 512 - 15 \cdot 16$

Этап 10.3.2.1.6

Умножим $- 15$ на $16$ .

$f' (- 4) = - 256 + 512 - 240$

Этап 10.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Добавим $- 256$ и $512$ .

$f' (- 4) = 256 - 240$

Этап 10.3.2.2.2

Вычтем $240$ из $256$ .

$f' (- 4) = 16$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $16$ .

$16$

Этап 10.4

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- 3, 0)$ в первую производную $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - {(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{3} - 15 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$f' (- 2) = - 1 \cdot 16 - 8 {(- 2)}^{3} - 15 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$f' (- 2) = - 16 - 8 {(- 2)}^{3} - 15 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f' (- 2) = - 16 - 8 \cdot - 8 - 15 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.4

Умножим $- 8$ на $- 8$ .

$f' (- 2) = - 16 + 64 - 15 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.5

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = - 16 + 64 - 15 \cdot 4$

Этап 10.4.2.1.6

Умножим $- 15$ на $4$ .

$f' (- 2) = - 16 + 64 - 60$

Этап 10.4.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.1

Добавим $- 16$ и $64$ .

$f' (- 2) = 48 - 60$

Этап 10.4.2.2.2

Вычтем $60$ из $48$ .

$f' (- 2) = - 12$

Этап 10.4.2.3

Окончательный ответ: $- 12$ .

$- 12$

Этап 10.5

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, \infty)$ в первую производную $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = - {(2)}^{4} - 8 {(2)}^{3} - 15 {(2)}^{2}$

Этап 10.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f' (2) = - 1 \cdot 16 - 8 {(2)}^{3} - 15 {(2)}^{2}$

Этап 10.5.2.1.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$f' (2) = - 16 - 8 {(2)}^{3} - 15 {(2)}^{2}$

Этап 10.5.2.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (2) = - 16 - 8 \cdot 8 - 15 {(2)}^{2}$

Этап 10.5.2.1.4

Умножим $- 8$ на $8$ .

$f' (2) = - 16 - 64 - 15 {(2)}^{2}$

Этап 10.5.2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = - 16 - 64 - 15 \cdot 4$

Этап 10.5.2.1.6

Умножим $- 15$ на $4$ .

$f' (2) = - 16 - 64 - 60$

Этап 10.5.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.2.1

Вычтем $64$ из $- 16$ .

$f' (2) = - 80 - 60$

Этап 10.5.2.2.2

Вычтем $60$ из $- 80$ .

$f' (2) = - 140$

Этап 10.5.2.3

Окончательный ответ: $- 140$ .

$- 140$

Этап 10.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = - 5$ , $x = - 5$ — локальный минимум.

$x = - 5$ — локальный минимум

Этап 10.7

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = - 3$ , $x = - 3$ — локальный максимум.

$x = - 3$ — локальный максимум

Этап 10.8

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 10.9

Это локальные экстремумы $f (x) = - \frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{4} - 5 x^{3} + 9$ .

$x = - 5$ — локальный минимум

$x = - 3$ — локальный максимум

$x = - 5$ — локальный минимум

$x = - 3$ — локальный максимум

Этап 11