Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{x + 2}{x^{2} - 12} - \frac{1}{x}}{x + 6}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{x + 2}{x^{2} - 12}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{x + 2}{x^{2} - 12} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{x + 6}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- \frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2} - 12}{x^{2} - 12}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{x + 2}{x^{2} - 12} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 12}{x^{2} - 12}}{x + 6}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x^{2} - 12) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{x + 2}{x^{2} - 12}$ на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{(x + 2) x}{(x^{2} - 12) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 12}{x^{2} - 12}}{x + 6}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{x^{2} - 12}{x^{2} - 12}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{(x + 2) x}{(x^{2} - 12) x} - \frac{x^{2} - 12}{x (x^{2} - 12)}}{x + 6}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x^{2} - 12) x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{(x + 2) x}{x (x^{2} - 12)} - \frac{x^{2} - 12}{x (x^{2} - 12)}}{x + 6}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{(x + 2) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12)}}{x + 6}$

Этап 2

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12)} \cdot \frac{1}{x + 6}$

Этап 2.2

Умножим $\frac{(x + 2) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12)}$ на $\frac{1}{x + 6}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 6} (x + 2) x - (x^{2} - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Этап 3.1.2

Найдем значения пределов, подставив значение $- 6$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Найдем предел $(x + 2) x - (x^{2} - 12)$ , подставив значение $- 6$ для $x$ .

$\frac{(- 6 + 2) \cdot - 6 - ({(- 6)}^{2} - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Этап 3.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Добавим $- 6$ и $2$ .

$\frac{- 4 \cdot - 6 - ({(- 6)}^{2} - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Этап 3.1.2.2.2

Умножим $- 4$ на $- 6$ .

$\frac{24 - ({(- 6)}^{2} - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Этап 3.1.2.2.3

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$\frac{24 - (36 - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Этап 3.1.2.2.4

Вычтем $12$ из $36$ .

$\frac{24 - 1 \cdot 24}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Этап 3.1.2.2.5

Умножим $- 1$ на $24$ .

$\frac{24 - 24}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Этап 3.1.2.3

Вычтем $24$ из $24$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $- 6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot lim_{x \to - 6} x^{2} - 12 \cdot lim_{x \to - 6} x + 6}$

Этап 3.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot (lim_{x \to - 6} x^{2} - lim_{x \to - 6} 12) \cdot lim_{x \to - 6} x + 6}$

Этап 3.1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - lim_{x \to - 6} 12) \cdot lim_{x \to - 6} x + 6}$

Этап 3.1.3.4

Найдем предел $12$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot lim_{x \to - 6} x + 6}$

Этап 3.1.3.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (lim_{x \to - 6} x + lim_{x \to - 6} 6)}$

Этап 3.1.3.6

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (lim_{x \to - 6} x + 6)}$

Этап 3.1.3.7

Найдем значения пределов, подставив значение $- 6$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 6$ для $x$ .

$\frac{0}{- 6 \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (lim_{x \to - 6} x + 6)}$

Этап 3.1.3.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 6$ для $x$ .

$\frac{0}{- 6 \cdot ({(- 6)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (lim_{x \to - 6} x + 6)}$

Этап 3.1.3.7.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 6$ для $x$ .

$\frac{0}{- 6 \cdot ({(- 6)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (- 6 + 6)}$

Этап 3.1.3.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.8.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$\frac{0}{- 6 \cdot (36 - 1 \cdot 12) \cdot (- 6 + 6)}$

Этап 3.1.3.8.1.2

Умножим $- 1$ на $12$ .

$\frac{0}{- 6 \cdot (36 - 12) \cdot (- 6 + 6)}$

Этап 3.1.3.8.2

Вычтем $12$ из $36$ .

$\frac{0}{- 6 \cdot 24 \cdot (- 6 + 6)}$

Этап 3.1.3.8.3

Умножим $- 6$ на $24$ .

$\frac{0}{- 144 \cdot (- 6 + 6)}$

Этап 3.1.3.8.4

Добавим $- 6$ и $6$ .

$\frac{0}{- 144 \cdot 0}$

Этап 3.1.3.8.5

Умножим $- 144$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.8.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.9

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12) (x + 6)} = lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) x - (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) x - (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $(x + 2) x - (x^{2} - 12)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [(x + 2) x] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) x] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Этап 3.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [(x + 2) x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 2$ и $g (x) = x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Этап 3.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Этап 3.3.3.3

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) \cdot 1 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Этап 3.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) \cdot 1 + x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Этап 3.3.3.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) \cdot 1 + x (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Этап 3.3.3.6

Умножим $x + 2$ на $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{x + 2 + x (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Этап 3.3.3.7

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{x + 2 + x \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Этап 3.3.3.8

Умножим $x$ на $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{x + 2 + x + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Этап 3.3.3.9

Добавим $x$ и $x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Этап 3.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (x^{2} - 12)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2} - 12]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 2 - \frac{d}{d x} [x^{2} - 12]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Этап 3.3.4.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 2 - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12])}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Этап 3.3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 2 - (2 x + \frac{d}{d x} [- 12])}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Этап 3.3.4.4

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 2 - (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Этап 3.3.4.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 2 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Этап 3.3.4.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 2 - 2 x}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Этап 3.3.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{0 + 2}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Этап 3.3.5.2

Добавим $0$ и $2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Этап 3.3.6

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x + 6] + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

Этап 3.3.7

По правилу суммы производная $x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

Этап 3.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) (1 + \frac{d}{d x} [6]) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

Этап 3.3.9

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) (1 + 0) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

Этап 3.3.10

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) \cdot 1 + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

Этап 3.3.11

Умножим $x$ на $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

Этап 3.3.12

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x \frac{d}{d x} [x^{2} - 12] + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 3.3.13

По правилу суммы производная $x^{2} - 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 3.3.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x (2 x + \frac{d}{d x} [- 12]) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 3.3.15

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x (2 x + 0) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 3.3.16

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x (2 x) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 3.3.17

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 (x^{1} x) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 3.3.18

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 3.3.19

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 3.3.20

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 x^{2} + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 3.3.21

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 x^{2} + (x^{2} - 12) \cdot 1)}$

Этап 3.3.22

Умножим $x^{2} - 12$ на $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 x^{2} + x^{2} - 12)}$

Этап 3.3.23

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (3 x^{2} - 12)}$

Этап 3.3.24

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.24.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + (x + 6) (3 x^{2} - 12)}$

Этап 3.3.24.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + (x + 6) (3 x^{2}) + (x + 6) \cdot - 12}$

Этап 3.3.24.3

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + (x + 6) \cdot - 12}$

Этап 3.3.24.4

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Этап 3.3.24.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.24.5.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.24.5.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.24.5.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{1} x^{2} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Этап 3.3.24.5.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{1 + 2} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Этап 3.3.24.5.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Этап 3.3.24.5.2

Перенесем $- 12$ влево от $x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} - 12 \cdot x + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Этап 3.3.24.5.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} - 12 x + 3 (x^{1} x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Этап 3.3.24.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} - 12 x + 3 x^{1 + 2} + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Этап 3.3.24.5.5

Добавим $1$ и $2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} - 12 x + 3 x^{3} + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Этап 3.3.24.5.6

Умножим $3$ на $6$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} - 12 x + 3 x^{3} + 18 x^{2} + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Этап 3.3.24.5.7

Перенесем $- 12$ влево от $x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} - 12 x + 3 x^{3} + 18 x^{2} - 12 \cdot x + 6 \cdot - 12}$

Этап 3.3.24.5.8

Умножим $6$ на $- 12$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} - 12 x + 3 x^{3} + 18 x^{2} - 12 x - 72}$

Этап 3.3.24.5.9

Добавим $x^{3}$ и $3 x^{3}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{4 x^{3} - 12 x + 18 x^{2} - 12 x - 72}$

Этап 3.3.24.5.10

Вычтем $12 x$ из $- 12 x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{4 x^{3} + 18 x^{2} - 24 x - 72}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $2$ и $4 x^{3} + 18 x^{2} - 24 x - 72$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (1)}{4 x^{3} + 18 x^{2} - 24 x - 72}$

Этап 3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (1)}{2 (2 x^{3}) + 18 x^{2} - 24 x - 72}$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $2$ из $18 x^{2}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (1)}{2 (2 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) - 24 x - 72}$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{3}) + 2 (9 x^{2})$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (1)}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2}) - 24 x - 72}$

Этап 3.4.2.4

Вынесем множитель $2$ из $- 24 x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (1)}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (- 12 x) - 72}$

Этап 3.4.2.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (- 12 x)$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (1)}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x) - 72}$

Этап 3.4.2.6

Вынесем множитель $2$ из $- 72$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 \cdot 1}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x) + 2 \cdot - 36}$

Этап 3.4.2.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x) + 2 (- 36)$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (1)}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36)}$

Этап 3.4.2.8

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - 6} \frac{2 \cdot 1}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36)}$

Этап 3.4.2.9

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - 6} \frac{1}{2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 6$ .

$\frac{lim_{x \to - 6} 1}{lim_{x \to - 6} 2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36}$

Этап 4.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 6$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - 6} 2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36}$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 6$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - 6} 2 x^{3} + lim_{x \to - 6} 9 x^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

Этап 4.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2 lim_{x \to - 6} x^{3} + lim_{x \to - 6} 9 x^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

Этап 4.5

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + lim_{x \to - 6} 9 x^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

Этап 4.6

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + 9 lim_{x \to - 6} x^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

Этап 4.7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

Этап 4.8

Вынесем член $12$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 12 lim_{x \to - 6} x - lim_{x \to - 6} 36}$

Этап 4.9

Найдем предел $36$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 6$ .

$\frac{1}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 12 lim_{x \to - 6} x - 1 \cdot 36}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $- 6$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 6$ для $x$ .

$\frac{1}{2 {(- 6)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 12 lim_{x \to - 6} x - 1 \cdot 36}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 6$ для $x$ .

$\frac{1}{2 {(- 6)}^{3} + 9 {(- 6)}^{2} - 12 lim_{x \to - 6} x - 1 \cdot 36}$

Этап 5.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 6$ для $x$ .

$\frac{1}{2 {(- 6)}^{3} + 9 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $- 6$ в степень $3$ .

$\frac{1}{2 \cdot - 216 + 9 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

Этап 6.1.2

Умножим $2$ на $- 216$ .

$\frac{1}{- 432 + 9 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

Этап 6.1.3

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$\frac{1}{- 432 + 9 \cdot 36 - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

Этап 6.1.4

Умножим $9$ на $36$ .

$\frac{1}{- 432 + 324 - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

Этап 6.1.5

Умножим $- 12$ на $- 6$ .

$\frac{1}{- 432 + 324 + 72 - 1 \cdot 36}$

Этап 6.1.6

Умножим $- 1$ на $36$ .

$\frac{1}{- 432 + 324 + 72 - 36}$

Этап 6.1.7

Добавим $- 432$ и $324$ .

$\frac{1}{- 108 + 72 - 36}$

Этап 6.1.8

Добавим $- 108$ и $72$ .

$\frac{1}{- 36 - 36}$

Этап 6.1.9

Вычтем $36$ из $- 36$ .

$\frac{1}{- 72}$

Этап 6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{72}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{72}$

Десятичная форма:

$- 0.013\overline{8}$