Математический анализ Примеры

$\frac{1}{\cos^{4} (x)}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{\cos^{4} (x)}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{4} (x)} d x$

Этап 4

Переведем $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ в $\sec^{4} (x)$ .

$\int \sec^{4} (x) d x$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Запишем $4$ как $2$ плюс $2$

$\int {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Этап 5.2

Перепишем ${\sec (x)}^{2 + 2}$ в виде $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

Этап 6

Используя формулы Пифагора, запишем $\sec^{2} (x)$ в виде $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

Этап 7

Пусть $u = \tan (x)$ . Тогда $d u = \sec^{2} (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = \tan (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 7.1.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int 1 + u^{2} d u$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d u + \int u^{2} d u$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$u + C + \int u^{2} d u$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 11

Упростим.

$u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{\cos^{4} (x)}$ .

$F (x) =$ $\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$