Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x) + \sin (3 x)}{1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Этап 1.1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Этап 1.1.2.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Этап 1.1.2.5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Этап 1.1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1 - \cos (0) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Этап 1.1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1 - \cos (0) + \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Этап 1.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Этап 1.1.2.7.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1 + \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Этап 1.1.2.7.1.3

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1 - 1 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Этап 1.1.2.7.1.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Этап 1.1.2.7.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Этап 1.1.2.7.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Этап 1.1.3.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Этап 1.1.3.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Этап 1.1.3.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0) + \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0) + \tan (2 \cdot 0)}$

Этап 1.1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1 + \tan (2 \cdot 0)}$

Этап 1.1.3.7.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 + \tan (2 \cdot 0)}$

Этап 1.1.3.7.1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 + \tan (0)}$

Этап 1.1.3.7.1.4

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 + 0}$

Этап 1.1.3.7.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 1.1.3.7.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.7.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x) + \sin (3 x)}{1 - \cos (x) + \tan (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $1 - \cos (x) + \sin (3 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Этап 1.3.4.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Этап 1.3.4.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Этап 1.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Этап 1.3.5.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Этап 1.3.5.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Этап 1.3.5.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Этап 1.3.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Этап 1.3.5.4

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Этап 1.3.5.5

Перенесем $3$ влево от $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Этап 1.3.6

Добавим $0$ и $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $1 - \cos (x) + \tan (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Этап 1.3.9

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Этап 1.3.9.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Этап 1.3.9.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Этап 1.3.9.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Этап 1.3.10

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + \frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 1.3.10.1.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + \sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 1.3.10.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 1.3.10.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 1.3.10.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)}$

Этап 1.3.10.4

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + \sec^{2} (2 x) \cdot 2}$

Этап 1.3.10.5

Перенесем $2$ влево от $\sec^{2} (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + 2 \sec^{2} (2 x)}$

Этап 1.3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.11.1

Добавим $0$ и $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\sin (x) + 2 \sec^{2} (2 x)}$

Этап 1.3.11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.11.2.1

Выразим $\sec (2 x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\sin (x) + 2 {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2}}$

Этап 1.3.11.2.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\sin (x) + 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)}}$

Этап 1.3.11.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\sin (x) + 2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x)}}$

Этап 1.3.11.2.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\sin (x) + \frac{2}{\cos^{2} (2 x)}}$

Этап 1.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Чтобы записать $\sin (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos^{2} (2 x)}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} + \frac{2}{\cos^{2} (2 x)}}$

Этап 1.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{\cos^{2} (2 x)}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) + 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{\cos^{2} (2 x)}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{\cos^{2} (2 x)}}$

Этап 2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{\cos^{2} (2 x)}}$

Этап 2.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{\cos^{2} (2 x)}}$

Этап 2.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{\cos^{2} (2 x)}}$

Этап 2.6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{\cos^{2} (2 x)}}$

Этап 2.7

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

Этап 2.8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

Этап 2.9

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

Этап 2.10

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

Этап 2.11

Вынесем степень $2$ в выражении $\cos^{2} (2 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (2 x))}^{2} + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

Этап 2.12

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

Этап 2.13

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

Этап 2.14

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

Этап 2.15

Вынесем степень $2$ в выражении $\cos^{2} (2 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2}{{(lim_{x \to 0} \cos (2 x))}^{2}}}$

Этап 2.16

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} 2 x)}}$

Этап 2.17

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (0) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 3.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (2 \cdot 0) + 2}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 3.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (2 \cdot 0) + 2}{\cos^{2} (2 \cdot 0)}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{\cos^{2} (2 \cdot 0)}{\sin (0) \cdot \cos^{2} (2 \cdot 0) + 2}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{\cos^{2} (0)}{\sin (0) \cdot \cos^{2} (2 \cdot 0) + 2}$

Этап 4.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1^{2}}{\sin (0) \cdot \cos^{2} (2 \cdot 0) + 2}$

Этап 4.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{\sin (0) \cdot \cos^{2} (2 \cdot 0) + 2}$

Этап 4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{0 \cdot \cos^{2} (2 \cdot 0) + 2}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $0$ .

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{0 \cdot \cos^{2} (0) + 2}$

Этап 4.3.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{0 \cdot 1^{2} + 2}$

Этап 4.3.4

Единица в любой степени равна единице.

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{0 \cdot 1 + 2}$

Этап 4.3.5

Умножим $0$ на $1$ .

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{0 + 2}$

Этап 4.3.6

Добавим $0$ и $2$ .

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{2}$

Этап 4.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$(0 + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{2}$

Этап 4.4.2

Умножим $3$ на $0$ .

$(0 + 3 \cos (0)) \frac{1}{2}$

Этап 4.4.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$(0 + 3 \cdot 1) \frac{1}{2}$

Этап 4.4.4

Умножим $3$ на $1$ .

$(0 + 3) \frac{1}{2}$

Этап 4.5

Добавим $0$ и $3$ .

$3 (\frac{1}{2})$

Этап 4.6

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3}{2}$

Десятичная форма:

$1.5$