Математический анализ Примеры

$y = \frac{x - 6}{4 x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x - 6}{4 x}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 6$ и $g (x) = x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3.3

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.3.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6)}{x^{2}}$

Этап 1.3.6.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{x - (x - 6)}{x^{2}}$ .

$\frac{x - (x - 6)}{4 x^{2}}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - x - - 6}{4 x^{2}}$

Этап 1.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{0 - - 6}{4 x^{2}}$

Этап 1.4.2.2

Вычтем $- 6$ из $0$ .

$\frac{- - 6}{4 x^{2}}$

Этап 1.4.2.3

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$\frac{6}{4 x^{2}}$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (3)}{4 x^{2}}$

Этап 1.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (3)}{2 (2 x^{2})}$

Этап 1.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (2 x^{2})}$

Этап 1.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{3}{2 x^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{2 x^{2}}$ по $x$ равна $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Этап 2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Этап 2.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$\frac{3}{2} (- 2 x^{- 3})$

Этап 2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} x^{- 3}$

Этап 2.4.2

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{- 6}{2} x^{- 3}$

Этап 2.4.3

Объединим $\frac{- 6}{2}$ и $x^{- 3}$ .

$\frac{- 6 x^{- 3}}{2}$

Этап 2.4.4

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 6}{2 x^{3}}$

Этап 2.4.5

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 x^{3}}$

Этап 2.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{3})}$

Этап 2.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 x^{3}}$

Этап 2.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3}{x^{3}}$

Этап 2.4.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{3}{x^{3}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3}{x^{3}}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Этап 3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Этап 3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Этап 3.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$- 3 (- 3 x^{- 4})$

Этап 3.4

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$9 x^{- 4}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 3.5.2

Объединим $9$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{9}{x^{4}}$