Математический анализ Примеры

$\int \frac{{(x^{3} - 2 x)}^{3}}{x^{3}} d x$

Этап 1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(x^{3} - 2 x)}^{3} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x^{3} - 2 x)}^{3} x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int {(x^{3} - 2 x)}^{3} x^{- 3} d x$

Этап 3

Развернем ${(x^{3} - 2 x)}^{3} x^{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$\int ({(x^{3})}^{3} + 3 {(x^{3})}^{2} (- 2 x) + 3 x^{3} {(- 2 x)}^{2} + {(- 2 x)}^{3}) x^{- 3} d x$

Этап 3.2

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int (x^{3} {(x^{3})}^{2} + 3 {(x^{3})}^{2} (- 2 x) + 3 x^{3} {(- 2 x)}^{2} + {(- 2 x)}^{3}) x^{- 3} d x$

Этап 3.3

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 {(x^{3})}^{2} (- 2 x) + 3 x^{3} {(- 2 x)}^{2} + {(- 2 x)}^{3}) x^{- 3} d x$

Этап 3.4

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) + 3 x^{3} {(- 2 x)}^{2} + {(- 2 x)}^{3}) x^{- 3} d x$

Этап 3.5

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) + {(- 2 x)}^{3}) x^{- 3} d x$

Этап 3.6

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) - 2 x {(- 2 x)}^{2}) x^{- 3} d x$

Этап 3.7

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) - 2 x (- 2 x (- 2 x))) x^{- 3} d x$

Этап 3.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x))) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Этап 3.9

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x)) x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Этап 3.10

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{3} (x^{3} x^{3}) x^{- 3} + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Этап 3.11

Перенесем $x^{3}$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 x^{3} \cdot - 2 x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Этап 3.12

Перенесем $x^{3}$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Этап 3.13

Перенесем $x$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 \cdot - 2 x \cdot x) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Этап 3.14

Перенесем круглые скобки.

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 \cdot - 2 x) x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Этап 3.15

Перенесем круглые скобки.

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 \cdot - 2) x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Этап 3.16

Перенесем $x^{3}$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Этап 3.17

Перенесем $x$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 \cdot - 2 x \cdot x) x^{- 3} d x$

Этап 3.18

Перенесем круглые скобки.

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 \cdot - 2 x) x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.19

Перенесем круглые скобки.

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 \cdot - 2) x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.20

Перенесем $x$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.21

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{3 + 3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.22

Добавим $3$ и $3$ .

$\int x^{6} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.23

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{6 + 3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.24

Добавим $6$ и $3$ .

$\int x^{9} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.25

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{9 - 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.26

Вычтем $3$ из $9$ .

$\int x^{6} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.27

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\int x^{6} - 6 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.28

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{6} - 6 x^{3 + 3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.29

Добавим $3$ и $3$ .

$\int x^{6} - 6 x^{6} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.30

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{6} - 6 (x^{6} x^{1}) x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.31

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{6} - 6 x^{6 + 1} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.32

Добавим $6$ и $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{7} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.33

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{6} - 6 x^{7 - 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.34

Вычтем $3$ из $7$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.35

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} - 6 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.36

Умножим $- 6$ на $- 2$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.37

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 (x^{3} x^{1}) x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.38

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{3 + 1} x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.39

Добавим $3$ и $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{4} x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.40

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 (x^{4} x^{1}) x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.41

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{4 + 1} x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.42

Добавим $4$ и $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{5} x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.43

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{5 - 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.44

Вычтем $3$ из $5$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.45

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} + 4 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.46

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.47

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 (x^{1} x) x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.48

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 (x^{1} x^{1}) x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.49

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{1 + 1} x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.50

Добавим $1$ и $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{2} x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 3.51

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 (x^{2} x^{1}) x^{- 3} d x$

Этап 3.52

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{2 + 1} x^{- 3} d x$

Этап 3.53

Добавим $2$ и $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{3} x^{- 3} d x$

Этап 3.54

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{3 - 3} d x$

Этап 3.55

Вычтем $3$ из $3$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{0} d x$

Этап 3.56

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 \cdot 1 d x$

Этап 3.57

Умножим $- 8$ на $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{6} d x + \int - 6 x^{4} d x + \int 12 x^{2} d x + \int - 8 d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{6}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int - 6 x^{4} d x + \int 12 x^{2} d x + \int - 8 d x$

Этап 6

Поскольку $- 6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 6$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 \int x^{4} d x + \int 12 x^{2} d x + \int - 8 d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 12 x^{2} d x + \int - 8 d x$

Этап 8

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 \int x^{2} d x + \int - 8 d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 8 d x$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 x + C$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 x + C$

Этап 11.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 12 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 8 x + C$

Этап 11.2

Упростим.

$\frac{x^{7}}{7} - \frac{6 x^{5}}{5} + 4 x^{3} - 8 x + C$

Этап 12

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{7} x^{7} - \frac{6}{5} x^{5} + 4 x^{3} - 8 x + C$