Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 4} + 5 x}{4 x + 3}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} + \frac{5 x}{x}}{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} + \frac{5 x}{x}}{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}$

Этап 2.1.2

Разделим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} + 5}{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}$

Этап 2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} + 5}{4 + \frac{3}{x}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} + 5}{4 + \frac{3}{x}}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $9$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{4}{x^{2}}} + 5}{4 + \frac{3}{x}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{4}{x^{2}}} + 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{4}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Этап 2.5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{4}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Этап 2.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Этап 2.7

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Этап 2.8

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + 5}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}$

Этап 4.3

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + 5}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}$

Этап 4.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + 5}{4 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + 5}{4 + 3 \cdot 0}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0} + 5}{4 + 3 \cdot 0}$

Этап 6.1.2

Добавим $9$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{9} + 5}{4 + 3 \cdot 0}$

Этап 6.1.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} + 5}{4 + 3 \cdot 0}$

Этап 6.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3 + 5}{4 + 3 \cdot 0}$

Этап 6.1.5

Добавим $3$ и $5$ .

$\frac{8}{4 + 3 \cdot 0}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{8}{4 + 0}$

Этап 6.2.2

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{8}{4}$

Этап 6.3

Разделим $8$ на $4$ .

$2$