Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - \sin (x)) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{2} 3 x^{2} - \sin (x) d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{0}^{2} - \sin (x) d x$

Этап 3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} - \sin (x) d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - \sin (x) d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - \sin (x) d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} \sin (x) d x$

Этап 7

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - (- \cos (x)]_{0}^{2})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $0$ .

$3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - (- \cos (x)]_{0}^{2})$

Этап 8.1.2

Найдем значение $- \cos (x)$ в $2$ и в $0$ .

$3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (- \cos (2) + \cos (0))$

Этап 8.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (- \cos (2) + \cos (0))$

Этап 8.1.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) - (- \cos (2) + \cos (0))$

Этап 8.1.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (- \cos (2) + \cos (0))$

Этап 8.1.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (- \cos (2) + \cos (0))$

Этап 8.1.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (- \cos (2) + \cos (0))$

Этап 8.1.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) - (- \cos (2) + \cos (0))$

Этап 8.1.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$3 (\frac{8}{3} - 0) - (- \cos (2) + \cos (0))$

Этап 8.1.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$3 (\frac{8}{3} + 0) - (- \cos (2) + \cos (0))$

Этап 8.1.3.5

Добавим $\frac{8}{3}$ и $0$ .

$3 (\frac{8}{3}) - (- \cos (2) + \cos (0))$

Этап 8.1.3.6

Объединим $3$ и $\frac{8}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 8}{3} - (- \cos (2) + \cos (0))$

Этап 8.1.3.7

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{24}{3} - (- \cos (2) + \cos (0))$

Этап 8.1.3.8

Сократим общий множитель $24$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.8.1

Вынесем множитель $3$ из $24$ .

$\frac{3 \cdot 8}{3} - (- \cos (2) + \cos (0))$

Этап 8.1.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 8}{3 (1)} - (- \cos (2) + \cos (0))$

Этап 8.1.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 1} - (- \cos (2) + \cos (0))$

Этап 8.1.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{1} - (- \cos (2) + \cos (0))$

Этап 8.1.3.8.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$8 - (- \cos (2) + \cos (0))$

Этап 8.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$8 - (- \cos (2) + 1)$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Найдем значение $\cos (2)$ .

$8 - (- - 0.41614683 + 1)$

Этап 8.3.2

Умножим $- 1$ на $- 0.41614683$ .

$8 - (0.41614683 + 1)$

Этап 8.3.3

Добавим $0.41614683$ и $1$ .

$8 - 1 \cdot 1.41614683$

Этап 8.3.4

Умножим $- 1$ на $1.41614683$ .

$8 - 1.41614683$

Этап 8.3.5

Вычтем $1.41614683$ из $8$ .

$6.58385316$