Математический анализ Примеры

$\int \frac{9 x^{7}}{x^{8} + 9} d x$

Этап 1

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int \frac{x^{7}}{x^{8} + 9} d x$

Этап 2

Пусть $u = x^{8} + 9$ . Тогда $d u = 8 x^{7} d x$ , следовательно $\frac{1}{8} d u = x^{7} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x^{8} + 9$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x^{8} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8} + 9]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x^{8} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$8 x^{7} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 2.1.4

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 x^{7} + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $8 x^{7}$ и $0$ .

$8 x^{7}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$9 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{8}$ .

$9 \int \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Этап 3.2

Перенесем $8$ влево от $u$ .

$9 \int \frac{1}{8 u} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$9 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{8}$ и $9$ .

$\frac{9}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{9}{8} (\ln (| u |) + C)$

Этап 7

Упростим.

$\frac{9}{8} \ln (| u |) + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{8} + 9$ .

$\frac{9}{8} \ln (| x^{8} + 9 |) + C$