Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\sqrt{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\sqrt{3} \sin (x)$ по $x$ равна $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\sqrt{3} \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sqrt{3} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\sqrt{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\sqrt{3} \cos (x)$ по $x$ равна $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = \sqrt{3} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = \sqrt{3} (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = \sqrt{3} (- \sin (x)) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Этап 2.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = \sqrt{3} (- \sin (x)) - \cos (x)$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = - \sqrt{3} \sin (x) - \cos (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5.2

Разделим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\sqrt{3} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6

Разделим дроби.

$\sqrt{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 7

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\sqrt{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 8

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 9

Разделим дроби.

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 10

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 11

Разделим $0$ на $1$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Этап 12

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = 0$

Этап 13

Вычтем $\sqrt{3}$ из обеих частей уравнения.

$- \tan (x) = - \sqrt{3}$

Этап 14

Разделим каждый член $- \tan (x) = - \sqrt{3}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Разделим каждый член $- \tan (x) = - \sqrt{3}$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Этап 14.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Этап 14.2.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Этап 14.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{1}$

Этап 14.3.2

Разделим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Этап 15

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Этап 16

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Точное значение $\arctan (\sqrt{3})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 17

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{3}$

Этап 18

Упростим $π + \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 18.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 18.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Этап 18.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Этап 18.3.2

Добавим $3 π$ и $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 19

Решение уравнения $x = \frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{4 π}{3}$

Этап 20

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) - \cos (\frac{π}{3})$

Этап 21

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Этап 21.1.2

Умножим $- \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.2.1

Объединим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sqrt{3}$ .

$- \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Этап 21.1.2.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Этап 21.1.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Этап 21.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Этап 21.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Этап 21.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Этап 21.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Этап 21.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Этап 21.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Этап 21.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{3^{1}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Этап 21.1.3.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{3}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Этап 21.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 21.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 3 - 1}{2}$

Этап 21.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.2.1

Вычтем $1$ из $- 3$ .

$\frac{- 4}{2}$

Этап 21.2.2.2

Разделим $- 4$ на $2$ .

$- 2$

Этап 22

$x = \frac{π}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{3}$ — локальный максимум

Этап 23

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 23.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.2

Умножим $\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1.2.1

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.2.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.3.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 23.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3 + 1}{2}$

Этап 23.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.2.2.1

Добавим $3$ и $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4}{2}$

Этап 23.2.2.2.2

Разделим $4$ на $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2$

Этап 23.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$y = 2$

Этап 24

Найдем вторую производную в $x = \frac{4 π}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \sqrt{3} \sin (\frac{4 π}{3}) - \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 25

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.

$- \sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 25.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 25.1.3

Умножим $- \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 25.1.3.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 25.1.3.3

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 25.1.3.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 25.1.3.5

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 25.1.3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 25.1.3.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 25.1.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 25.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 25.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 25.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 25.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3^{1}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 25.1.4.5

Найдем экспоненту.

$\frac{3}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 25.1.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$\frac{3}{2} - - \cos (\frac{π}{3})$

Этап 25.1.6

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} - - \frac{1}{2}$

Этап 25.1.7

Умножим $- - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{3}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Этап 25.1.7.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 25.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 + 1}{2}$

Этап 25.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.2.2.1

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{4}{2}$

Этап 25.2.2.2

Разделим $4$ на $2$ .

$2$

Этап 26

$x = \frac{4 π}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{4 π}{3}$ — локальный минимум

Этап 27

Найдем значение y, если $x = \frac{4 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{4 π}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \sqrt{3} \sin (\frac{4 π}{3}) + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 27.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.1.1

$f (\frac{4 π}{3}) = \sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 27.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 27.2.1.3

Умножим $\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.1.3.1

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 27.2.1.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 27.2.1.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 27.2.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 27.2.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 27.2.1.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 27.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 27.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 27.2.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 27.2.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 27.2.1.4.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 27.2.1.5

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Этап 27.2.1.6

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 27.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 3 - 1}{2}$

Этап 27.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.2.2.1

Вычтем $1$ из $- 3$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 4}{2}$

Этап 27.2.2.2.2

Разделим $- 4$ на $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2$

Этап 27.2.3

Окончательный ответ: $- 2$ .

$y = - 2$

Этап 28

Это локальные экстремумы $f (x) = \sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$ .

$(\frac{π}{3}, 2)$ — локальный максимум

$(\frac{4 π}{3}, - 2)$ — локальный минимум

Этап 29