Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - x^{2}}{\ln (x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - x^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Этап 1.1.2.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Этап 1.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{1} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Этап 1.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{1} - 1^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Этап 1.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1 - 1^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Этап 1.1.2.5.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Этап 1.1.2.5.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Этап 1.1.2.5.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x)}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Этап 1.1.3.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - x^{2}}{\ln (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\sqrt{x} - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3.3.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (2 x)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 x}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3.5.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3.5.3

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3.6

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 1} (- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x$

Этап 1.5

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} (- 2 x + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) x$

Этап 1.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Чтобы записать $- 2 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} (- 2 x \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) x$

Этап 1.6.2

Объединим $- 2 x$ и $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} (\frac{- 2 x (2 \sqrt{x})}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) x$

Этап 1.6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x (2 \sqrt{x}) + 1}{2 \sqrt{x}} x$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x (2 \sqrt{x}) + 1}{2 \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Этап 2.2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{- 2 x (2 \sqrt{x}) + 1}{\sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} - 2 x \cdot 2 \sqrt{x} + 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 1} 2 x \cdot 2 \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Этап 2.5

Вынесем член $2 \cdot 2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Этап 2.6

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Этап 2.7

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Этап 2.8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Этап 2.9

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Этап 3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Этап 3.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

Этап 4.1.1.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

Этап 4.1.1.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

Этап 4.1.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 \cdot 1 + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

Этап 4.1.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

Этап 4.1.4

Добавим $- 4$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3}{\sqrt{1}} \cdot 1$

Этап 4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3}{1} \cdot 1$

Этап 4.3

Разделим $- 3$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 3 \cdot 1$

Этап 4.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 3$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot 1$

Этап 4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{2} \cdot 1$

Этап 4.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{3}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{3}{2}$

Десятичная форма:

$- 1.5$