Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} \frac{x^{2} - x - 5}{x + 2} d x$

Этап 1

Разделим $x^{2} - x - 5$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$x$

$5$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x$
	$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + 2 x$ .

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$

Этап 1.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$
					-	$3 x$	-	$6$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x - 6$ .

				$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$
					+	$3 x$	+	$6$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$
					+	$3 x$	+	$6$
							+	$1$

Этап 1.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int_{1}^{2} x - 3 + \frac{1}{x + 2} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - 3 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x + 2} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 3 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x + 2} d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - 3 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{1}{x + 2} d x$

Этап 5

Пусть $u = x + 2$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = x + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 5.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 2$ .

$u_{lower} = 1 + 2$

Этап 5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$u_{lower} = 3$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 2$ .

$u_{upper} = 2 + 2$

Этап 5.5

Добавим $2$ и $2$ .

$u_{upper} = 4$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - 3 x]_{1}^{2} + \int_{3}^{4} \frac{1}{u} d u$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - 3 x]_{1}^{2} + \ln (| u |)]_{3}^{4}$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$ и $- 3 x]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - 3 x]_{1}^{2} + \ln (| u |)]_{3}^{4}$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2} - 3 x$ в $2$ и в $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + \ln (| u |)]_{3}^{4}$

Этап 8.2

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $4$ и в $3$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Этап 8.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$\frac{4}{2} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Этап 8.3.3

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Этап 8.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Этап 8.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Этап 8.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Этап 8.3.3.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Этап 8.3.4

Умножим $- 3$ на $2$ .

$2 - 6 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Этап 8.3.5

Вычтем $6$ из $2$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Этап 8.3.6

Единица в любой степени равна единице.

$- 4 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Этап 8.3.7

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Этап 8.3.8

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} - 3) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Этап 8.3.9

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Этап 8.3.10

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Этап 8.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 4 - \frac{1 - 3 \cdot 2}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Этап 8.3.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.12.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$- 4 - \frac{1 - 6}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Этап 8.3.12.2

Вычтем $6$ из $1$ .

$- 4 - \frac{- 5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Этап 8.3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 4 - - \frac{5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Этап 8.3.14

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 4 + 1 (\frac{5}{2}) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Этап 8.3.15

Умножим $\frac{5}{2}$ на $1$ .

$- 4 + \frac{5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Этап 8.3.16

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Этап 8.3.17

Объединим $- 4$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Этап 8.3.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 4 \cdot 2 + 5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Этап 8.3.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.19.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{- 8 + 5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Этап 8.3.19.2

Добавим $- 8$ и $5$ .

$\frac{- 3}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Этап 8.3.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{2} + \ln (| 4 |) - \ln (| 3 |)$

Этап 9

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{3}{2} + \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$- \frac{3}{2} + \ln (\frac{4}{| 3 |})$

Этап 10.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$- \frac{3}{2} + \ln (\frac{4}{3})$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{3}{2} + \ln (\frac{4}{3})$

Десятичная форма:

$- 1.21231792 \dots$

Этап 12