Математический анализ Примеры

${(2 + e^{3 x})}^{2}$

Этап 1

Запишем ${(2 + e^{3 x})}^{2}$ в виде функции.

$f (x) = {(2 + e^{3 x})}^{2}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int {(2 + e^{3 x})}^{2} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${(2 + e^{3 x})}^{2}$ в виде $(2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x})$ .

$\int (2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x}) d x$

Этап 4.2

Развернем $(2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 2 (2 + e^{3 x}) + e^{3 x} (2 + e^{3 x}) d x$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 2 \cdot 2 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} (2 + e^{3 x}) d x$

Этап 4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 2 \cdot 2 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} \cdot 2 + e^{3 x} e^{3 x} d x$

Этап 4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\int 4 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} \cdot 2 + e^{3 x} e^{3 x} d x$

Этап 4.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $e^{3 x}$ .

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 \cdot e^{3 x} + e^{3 x} e^{3 x} d x$

Этап 4.3.1.3

Умножим $e^{3 x}$ на $e^{3 x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 e^{3 x} + e^{3 x + 3 x} d x$

Этап 4.3.1.3.2

Добавим $3 x$ и $3 x$ .

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 e^{3 x} + e^{6 x} d x$

Этап 4.3.2

Добавим $2 e^{3 x}$ и $2 e^{3 x}$ .

$\int 4 + 4 e^{3 x} + e^{6 x} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 4 d x + \int 4 e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 x + C + \int 4 e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

Этап 7

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 x + C + 4 \int e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

Этап 8

Пусть $u_{1} = 3 x$ . Тогда $d u_{1} = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u_{1} = 3 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 8.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 8.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$4 x + C + 4 \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

Этап 9

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{1}{3}$ .

$4 x + C + 4 \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$4 x + C + 4 (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{6 x} d x$

Этап 11

Объединим $\frac{1}{3}$ и $4$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

Этап 12

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{6 x} d x$

Этап 13

Пусть $u_{2} = 6 x$ . Тогда $d u_{2} = 6 d x$ , следовательно $\frac{1}{6} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Пусть $u_{2} = 6 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Дифференцируем $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Этап 13.1.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 13.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Этап 13.1.4

Умножим $6$ на $1$ .

$6$

Этап 13.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{6} d u_{2}$

Этап 14

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{6}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int \frac{e^{u_{2}}}{6} d u_{2}$

Этап 15

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{6} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 16

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{6} (e^{u_{2}} + C)$

Этап 17

Упростим.

$4 x + \frac{4}{3} e^{u_{1}} + \frac{1}{6} e^{u_{2}} + C$

Этап 18

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x$ .

$4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{u_{2}} + C$

Этап 18.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $6 x$ .

$4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$

Этап 19

Ответ ― первообразная функции $f (x) = {(2 + e^{3 x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$